Задача 4. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 22 см и 6 см, а высота 13 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Краткий ответ:
\[ S_{\text{полн}}=520+56\sqrt{233}\ \text{см}^2\approx 1374{,}8\ \text{см}^2. \]

Как это получается

1. Основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды — квадраты: \[ S_{\text{нижн}}=22^2=484,\qquad S_{\text{верх}}=6^2=36. \]

2. Боковые грани — четыре одинаковые равнобедренные трапеции. Нужна высота такой грани \(l\). Она находится из прямоугольного треугольника с катетами \(13\) и \[ \frac{22-6}{2}=8. \] То есть \[ l=\sqrt{13^2+8^2}=\sqrt{169+64}=\sqrt{233}. \]

3. Площадь одной боковой грани: \[ S_{\text{гр}}=\frac{22+6}{2}\cdot \sqrt{233}=14\sqrt{233}. \] Всех боковых граней четыре: \[ S_{\text{бок}}=4\cdot 14\sqrt{233}=56\sqrt{233}. \]

4. Полная поверхность: \[ S_{\text{полн}}=484+36+56\sqrt{233}=520+56\sqrt{233}. \]

Проверка: \(\sqrt{233}\approx15{,}26\), поэтому \(56\sqrt{233}\approx854{,}8\), а вся площадь примерно \(1374{,}8\) см².