28. Найдите квадрат числа: √25; √81; √2; √3; −√4; √5; −√6; √(1/2); √1,3.

Краткий ответ (№ 28 — он подчёркнут синим):

\[ (\sqrt{25})^2=25,\quad (\sqrt{81})^2=81,\quad (\sqrt{2})^2=2,\quad (\sqrt{3})^2=3, \] \[ (-\sqrt{4})^2=4,\quad (\sqrt{5})^2=5,\quad (-\sqrt{6})^2=6, \] \[ \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2=\frac{1}{2},\quad (\sqrt{1{,}3})^2=1{,}3. \]

Принцип. Квадратный корень \(\sqrt{a}\) (при \(a\ge 0\)) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Значит, возведение в квадрат и извлечение корня — взаимно обратные действия:

\[ (\sqrt{a})^2=a. \]

Минус перед корнем ответ не меняет, потому что \((-x)^2=x^2\):

\[ (-\sqrt{a})^2=(-1)^2\cdot(\sqrt{a})^2=a. \]

Как это работает по шагам:

• \((\sqrt{25})^2\): если посчитать \(\sqrt{25}=5\), то \(5^2=25\) — вернулись к подкоренному числу.
• \((\sqrt{2})^2=2\), \((\sqrt{3})^2=3\) — корень не извлекается нацело, но в квадрате даёт ровно подкоренное число.
• \((-\sqrt{4})^2=4\), \((-\sqrt{6})^2=6\) — сначала убираем минус через квадрат.
• \(\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\) — правило работает и для дробей.
• \((\sqrt{1{,}3})^2=1{,}3\) — и для десятичных дробей.

Проверка: \(\sqrt{2}\approx 1{,}414\), тогда \(1{,}414^2\approx 2{,}000\) — сходится. Так же \((\sqrt{1{,}3})^2\approx 1{,}140^2\approx 1{,}30\).

Вывод-правило для похожих заданий: квадрат любого выражения вида \(\pm\sqrt{a}\) равен \(a\), а квадрат \(c\sqrt{a}\) равен \(c^2a\) (например, \((3\sqrt{5})^2=9\cdot5=45\) — это уже из № 29).