построить график функции у=(0,2/х/-1) : (/х/-0,2х в квадрате)
Считаю, что запись /x/ означает \(|x|\). Тогда
\[ y=\frac{0{,}2|x|-1}{|x|-0{,}2x^2}. \]
Кратко:
\[
y=-\frac{1}{|x|},\qquad x\ne 0,\quad x\ne \pm 5.
\]
То есть для \(x>0\) строим ветвь \(y=-\frac1x\), а для \(x<0\) — ветвь \(y=\frac1x\). В точках \(x=5\) и \(x=-5\) на графике нужны выколотые точки.
Как получилось
Обозначим \(t=|x|\ge 0\). Тогда \(x^2=|x|^2=t^2\), и
\[ y=\frac{0{,}2t-1}{t-0{,}2t^2}. \]
Домножим числитель и знаменатель на \(5\):
\[ y=\frac{t-5}{5t-t^2} =\frac{t-5}{t(5-t)} =-\frac{1}{t}. \]
Значит,
\[ y=-\frac{1}{|x|}. \]
Но сокращать можно только при \(t\ne 5\), то есть при \(|x|\ne5\). Поэтому график \(y=-\frac1{|x|}\) надо нарисовать без точек \((5;-0{,}2)\) и \((-5;-0{,}2)\).
Область определения
\[ x\ne -5,\quad x\ne 0,\quad x\ne 5. \]
То есть
\[ D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;5)\cup(5;+\infty). \]
Асимптоты и особые точки
- Вертикальная асимптота: \(x=0\).
- Горизонтальная асимптота: \(y=0\).
- Выколотые точки:
\[ (5;-0{,}2),\qquad (-5;-0{,}2). \] - График симметричен относительно оси \(Oy\), потому что функция чётная.
- Ветви расположены ниже оси \(Ox\).
Точки для построения
Для \(x>0\):
\[ \begin{array}{c|cccccc} x & 0{,}5 & 1 & 2 & 4 & 8 & 10\\ \hline y & -2 & -1 & -0{,}5 & -0{,}25 & -0{,}125 & -0{,}1 \end{array} \]
Для \(x<0\) точки симметричны:
\[ (-0{,}5;-2),\ (-1;-1),\ (-2;-0{,}5),\ (-4;-0{,}25),\ldots \]
При \(x=\pm5\) значения должны были бы быть равны \(-0{,}2\), но эти точки выколоты.
Что в итоге нарисовать
- Оси координат и пунктиром асимптоты \(x=0\), \(y=0\).
- Правую ветвь: при \(x\to0^+\) график уходит вниз к \(-\infty\), затем проходит через \((1;-1)\), \((2;-0{,}5)\), подходит к \((5;-0{,}2)\), но эта точка выколота, после неё ветвь продолжается к \(y=0^-\).
- Левую ветвь нарисуй симметрично относительно оси \(Oy\): она проходит через \((-1;-1)\), \((-2;-0{,}5)\) и имеет выколотую точку \((-5;-0{,}2)\).
Проверка: при \(x=2\)
\[ y=\frac{0{,}2\cdot2-1}{2-0{,}2\cdot4} =\frac{-0{,}6}{1{,}2}=-0{,}5, \]
а по формуле \(-\frac1{|2|}=-0{,}5\). Всё сходится.
