1. В треугольнике ABC угол B равен 78°, угол C равен 34°, BF — биссектриса, P — такая точка на BC, что BP = AB (см. рис. 96). Найдите угол CFP.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- В треугольнике ABC угол B равен 78°, угол C равен 34°, BF — биссектриса, P — такая точка на BC, что BP = AB (см. рис. 96). Найдите угол CFP. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: треугольник ABC; A сверху, B слева внизу, C справа внизу; F лежит на AC, P — на BC; проведены BF и AP, они пересекаются в точке K; отмечены углы B — 78°, C — 34°.]
- Найдите скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) (см. рис. 97). [Рисунок 97: координатная сетка с осями Ox и Oy; на оси x отмечены 0, 2, 6, 8; на оси y — 2, 6, 7, 11; вектор \(\vec a\) проведён из точки (2; 6) в точку (8; 11), вектор \(\vec b\) — из точки (2; 2) в точку (6; 7).]
- Куб описан около сферы радиусом 4 (см. рис. 98). Найдите объём куба. [Рисунок 98: куб; внутри него пунктиром изображена сфера, касающаяся граней куба.]
- Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10 часов, но не дойдя до отметки 4 часа.
- В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,1. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
- Найдите корень уравнения \(\frac{1}{4x+5}=\frac{1}{21}\).
- Найдите значение выражения \(\log_5 62,5-\log_5 12,5\).
- На рисунке 99 изображён график функции \(y=f(x)\), определённой на интервале \((-10;9)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y=16\) или совпадает с ней. [Рисунок 99: график функции \(y=f(x)\) на координатной сетке; по оси x отмечены -10, 0, 9; график имеет несколько локальных максимумов и минимумов.]
- Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t)=1+26t-5t^2\), где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах, прошедшее с места броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?
На фото несколько заданий — 1–9. Я разобрал все; если нужен только один номер, скажи его.
Краткие ответы:
- \(34\); 2) \(49\); 3) \(512\); 4) \(0{,}5\); 5) \(0{,}7\); 6) \(4\); 7) \(1\); 8) \(8\); 9) \(4{,}8\).
Разбор
Угол \(CFP\).
\[ \angle A=180^\circ-78^\circ-34^\circ=68^\circ. \] В треугольнике \(ABP\): \(AB=BP\), поэтому \[ \angle BAP=\angle BPA=\frac{180^\circ-78^\circ}{2}=51^\circ. \] Тогда \[ \angle PAC=68^\circ-51^\circ=17^\circ. \] \(BF\) — биссектриса угла \(ABC\), а так как \(P\) лежит на \(BC\), то \(BF\) является и биссектрисой угла \(ABP\). В равнобедренном треугольнике \(ABP\) эта биссектриса является серединным перпендикуляром к \(AP\). Значит, \(F\) равноудалена от \(A\) и \(P\): \(FA=FP\).
Поэтому в треугольнике \(AFP\): \[ \angle FAP=\angle APF=17^\circ,\qquad \angle AFP=180^\circ-34^\circ=146^\circ. \] Углы \(AFP\) и \(CFP\) смежные, поэтому \[ \angle CFP=180^\circ-146^\circ=34^\circ. \]Скалярное произведение. По клеткам: \[ \vec a=(6;5),\qquad \vec b=(4;5). \] Тогда \[ \vec a\cdot\vec b=6\cdot4+5\cdot5=24+25=49. \]
Куб около сферы. Радиус сферы \(4\), значит ребро куба: \[ a=2R=8. \] Объём: \[ V=a^3=8^3=512. \]
Стрелка часов. От \(10\) до \(4\) по циферблату — \(6\) часовых делений из \(12\): \[ p=\frac{6}{12}=0{,}5. \]
Кофе в автоматах. Пусть \(A\) и \(B\) — кофе закончился в первом и втором автомате. Тогда \[ P(A\cup B)=0{,}2+0{,}2-0{,}1=0{,}3. \] Значит, кофе останется в обоих: \[ P=1-0{,}3=0{,}7. \]
Уравнение. \[ \frac{1}{4x+5}=\frac{1}{21} \] даёт \(4x+5=21\), откуда \[ x=4. \] Проверка: \(4\cdot4+5=21\).
Логарифмы. \[ \log_5 62{,}5-\log_5 12{,}5 =\log_5\frac{62{,}5}{12{,}5} =\log_5 5=1. \]
Касательная к графику. Прямая \(y=16\) горизонтальна, значит нужны точки, где касательная горизонтальна. Это точки локальных максимумов и минимумов графика. По рисунку 99 таких точек \(8\).
Мяч и высота. Нужно \[ 1+26t-5t^2\ge 6. \] Получаем: \[ 5t^2-26t+5\le0. \] Корни: \[ t=\frac{26\pm24}{10}=0{,}2;\ 5. \] Значит, мяч находится на высоте не менее \(6\) м в течение \[ 5-0{,}2=4{,}8\text{ с}. \]
