Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета)

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) корни обладают свойством: \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q \] Здесь \(p=-5\), \(q=6\). Значит, нужны два числа, у которых сумма \(5\), а произведение \(6\). Это \(2\) и \(3\): \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6 \] Поэтому \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \] Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель: \[ x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0 \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \] \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \] Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий: сначала проверь, можно ли подобрать два числа с нужными суммой и произведением (это быстро); если подобрать трудно — считай дискриминант, он даёт ответ всегда.