реши и объяни

Краткий ответ

Первый блок (там, где перед корнем стоит множитель): \[ \text{а) } 0{,}5\sqrt{0{,}04}+\frac{1}{6}\sqrt{144}=2{,}1 \qquad \text{б) } 2\sqrt{1\frac{9}{16}}=2{,}5 \]

Второй блок: \[ \text{а) } \sqrt{2{,}89}=1{,}7 \qquad \text{б) } \sqrt{56}\cdot\sqrt{14}=28 \qquad \text{в) } \sqrt{3^{4}\cdot 2^{6}}=72 \]

Три правила, на которых держится весь номер

1. Корень из произведения: \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) (для \(a,b\ge 0\)). Работает и в обратную сторону — можно «склеивать» корни.
2. Корень из дроби: \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
3. Корень из квадрата: \(\sqrt{a^{2}}=a\) при \(a\ge 0\). Поэтому из-под корня «вытаскивают» полные квадраты: \(3^{4}=(3^{2})^{2}\), \(2^{6}=(2^{3})^{2}\).

Решение по шагам

а) \(0{,}5\sqrt{0{,}04}+\frac{1}{6}\sqrt{144}\)

Считаем каждый корень отдельно: \(0{,}2^{2}=0{,}04\), значит \(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\); \(\sqrt{144}=12\). \[ 0{,}5\cdot 0{,}2+\frac{1}{6}\cdot 12=0{,}1+2=2{,}1 \] Типичная ошибка — умножить \(0{,}5\) на \(0{,}04\) вместо корня. Сначала всегда корень, потом умножение.

б) \(2\sqrt{1\frac{9}{16}}\)

Смешанное число переводим в неправильную дробь: \(1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}\). \[ \sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}, \qquad 2\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5 \]

а) \(\sqrt{2{,}89}\)

Десятичную дробь удобно превратить в обыкновенную: \[ \sqrt{2{,}89}=\sqrt{\frac{289}{100}}=\frac{17}{10}=1{,}7 \] Проверка: \(1{,}7^{2}=2{,}89\) — сходится.

б) \(\sqrt{56}\cdot\sqrt{14}\)

Два пути, оба короткие.

Через произведение: \(\sqrt{56}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{56\cdot 14}=\sqrt{784}=28\), потому что \(28^{2}=784\).

Через разложение: \(56=4\cdot 14\), значит \(\sqrt{56}=2\sqrt{14}\), и тогда \[ 2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}=2\cdot 14=28 \] Второй способ быстрее: \(\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}=14\) по определению корня.

в) \(\sqrt{3^{4}\cdot 2^{6}}\)

Выделяем полные квадраты под корнем: \[ 3^{4}\cdot 2^{6}=(3^{2})^{2}\cdot(2^{3})^{2}=9^{2}\cdot 8^{2} \] \[ \sqrt{9^{2}\cdot 8^{2}}=9\cdot 8=72 \] Проверка: \(72^{2}=5184\), а \(3^{4}\cdot 2^{6}=81\cdot 64=5184\). Верно.

Как действовать в похожем задании

1. Сначала избавься от «мешающего» множителя перед корнем и от смешанных чисел — переведи всё в обыкновенные дроби.
2. Разложи число под корнем так, чтобы вылезли полные квадраты (\(4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 144\ldots\)).
3. Вынеси корень из каждого квадрата, остальное оставь под корнем.
4. В конце проверь ответ возведением в квадрат — это ловит почти все ошибки.