Среднее линия трапеции пересекает диагонали в их серединах

Да, верно.

Коротко почему: в треугольнике \(ABC\) отрезок из середины \(AB\) (точка \(M\)) в середину \(AC\) параллелен \(BC\), значит лежит на средней линии. Аналогично для середины \(BD\). Обе середины диагоналей лежат на средней линии — но это две разные точки.

Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.
В трапеции это, например, \(AC\) и \(BD\).

Диагональ — отрезок между двумя несоседними вершинами многоугольника.

На рисунке — та же теорема. Коротко:

• \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\);
• \(MN\) — средняя линия;
• \(O\) и \(P\) — точки, где она пересекает диагонали \(AC\) и \(BD\), и это их середины.

Точка пересечения самих диагоналей (крестик вверху) на среднюю линию не попадает — она лежит выше, ближе к меньшему основанию.

Средняя линия делит каждую диагональ пополам — проходит через её середину.

Дано: трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\); \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\); \(MN\) — средняя линия.

Доказать: \(MN\) проходит через середины диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Доказательство (кратко):

1. Пусть \(O\) — середина \(AC\). В \(\triangle ABC\) отрезок \(MO\) соединяет середины \(AB\) и \(AC\), значит \(MO\parallel BC\). Но через \(M\) проходит только одна прямая, параллельная \(BC\), — это \(MN\). Поэтому \(O\in MN\).

2. Пусть \(P\) — середина \(BD\). В \(\triangle ABD\) отрезок \(MP\) соединяет середины \(AB\) и \(BD\), значит \(MP\parallel AD\). По той же причине \(P\in MN\).

Вывод: средняя линия пересекает обе диагонали ровно в их серединах.

\(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\), \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон.

Доказать: \(MN\) проходит через середины \(AC\) и \(BD\).

Доказательство: в \(\triangle ABC\) отрезок \(MO\parallel BC\), значит совпадает с \(MN\); в \(\triangle ABD\) отрезок \(MP\parallel AD\), тоже совпадает с \(MN\). Через \(M\) параллельная прямая одна. Ч.т.д.

Дано: трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\); \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\); \(MN\) — средняя линия.

Доказать: \(MN\) пересекает диагонали \(AC\) и \(BD\) в их серединах.

Доказательство:

1. Пусть \(O\) — середина \(AC\). В \(\triangle ABC\) отрезок \(MO\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AC\), поэтому \(MO\parallel BC\). Но \(MN\parallel BC\) и проходит через \(M\); параллельная прямая через точку одна, значит \(O\in MN\).

2. Пусть \(P\) — середина \(BD\). В \(\triangle ABD\) отрезок \(MP\) соединяет середины \(AB\) и \(BD\), поэтому \(MP\parallel AD\). Так как \(MN\parallel AD\) и проходит через \(M\), получаем \(P\in MN\).

Вывод: \(O\) и \(P\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\), и обе лежат на средней линии \(MN\). Ч.т.д.

Это продолжение той же задачи: на вставленном фото — рукописные записи про среднюю линию трапеции (виден рисунок трапеции, «Дано», «MN — средняя линия», формула вида \(\frac{AD+BC}{2}\)). Мелко и нечётко, поэтому разобрать текст целиком не могу.

Проверить твою запись или ещё раз дать доказательство текстом?

Дано

Трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\); \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\); \(MN\) — средняя линия.

Доказать: \(MN\) проходит через середины диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Доказательство

Шаг 0. Что мы знаем о средней линии. По свойству средней линии трапеции \[ MN\parallel AD\parallel BC. \]

Шаг 1. Диагональ \(AC\). Пусть \(O\) — середина \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нём:

• \(M\) — середина \(AB\),
• \(O\) — середина \(AC\).

Значит, \(MO\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \[ MO\parallel BC. \]

Шаг 2. Ключевой довод — единственность. Через точку \(M\) проходит ровно одна прямая, параллельная \(BC\). Но и \(MN\), и \(MO\) проходят через \(M\) и параллельны \(BC\). Значит, это одна и та же прямая: \[ MO\subset MN \;\Rightarrow\; O\in MN. \]

Шаг 3. Диагональ \(BD\). Пусть \(P\) — середина \(BD\). В треугольнике \(ABD\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BD\), поэтому \(MP\) — средняя линия, \(MP\parallel AD\). Так как \(MN\parallel AD\) и обе прямые проходят через \(M\), то \(P\in MN\).

Вывод: середины обеих диагоналей лежат на средней линии, то есть \(MN\) пересекает \(AC\) и \(BD\) именно в их серединах. Ч.т.д.

Проверка на числах

Возьмём \(A(0;0)\), \(D(6;0)\), \(B(1;2)\), \(C(5;2)\). Тогда \(AD=6\), \(BC=4\), а средняя линия идёт по прямой \(y=1\).

• Середина \(AC\): \(\left(\frac{0+5}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(2{,}5;\,1)\) — лежит на \(MN\).
• Середина \(BD\): \(\left(\frac{1+6}{2};\frac{2+0}{2}\right)=(3{,}5;\,1)\) — тоже на \(MN\).
• Длина \(MN=\frac{6+4}{2}=5\), и от \(x=0{,}5\) до \(x=5{,}5\) действительно \(5\). Всё сходится.

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\), \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(CD\).

Доказать: \(MN\) проходит через середины \(AC\) и \(BD\).

Доказательство:

1. \(O\) — середина \(AC\). В \(\triangle ABC\) отрезок \(MO\) — средняя линия, значит \(MO\parallel BC\). Но \(MN\parallel BC\) и обе проходят через \(M\), поэтому \(MO\) и \(MN\) — одна прямая, то есть \(O\in MN\).
2. \(P\) — середина \(BD\). В \(\triangle ABD\) отрезок \(MP\) — средняя линия, \(MP\parallel AD\). Так же \(MP\) совпадает с \(MN\), значит \(P\in MN\).

Ч.т.д.