Задачи по теме «Треугольники». 1. Определите вид треугольника по сторонам, если: а) 6 см, 6 см, 8 см; б) 5 см, 5 см, 5 см; в) 4 см, 6 см, 7 см.

Ниже — решения ко всем 18 пунктам листа.

Краткие ответы

1. а) равнобедренный; б) равносторонний; в) разносторонний.
2. а) прямоугольный; б) остроугольный; в) тупоугольный.
3. \(70^\circ\).
4. \(40^\circ\).
5. \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\).
6. По \(70^\circ\).
7. \(36^\circ\).
8. \(10\) см.
9. \(12\) см.
10. \(54\) см².
11. \(24\) см.
12. \(13\) см.
13. \(42\) см².
14. \(60\) см².
15. \(16\sqrt{3}\) см², примерно \(27{,}7\) см².
16. Да, прямоугольный.
17. Нет.
18. Да, треугольники равны.

Почему так

1–2. Вид треугольника

1. Смотрим на равенство сторон:

   • а) \(6=6\), значит, две стороны равны — равнобедренный;
   • б) \(5=5=5\) — равносторонний;
   • в) все стороны разные — разносторонний.

2. Смотрим на углы:

   • а) есть \(90^\circ\) — прямоугольный;
   • б) все углы меньше \(90^\circ\) — остроугольный;
   • в) есть \(110^\circ>90^\circ\) — тупоугольный.

3–5. Сумма углов треугольника

Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\).

3. \[ 180^\circ-(45^\circ+65^\circ)=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]

4. Второй угол: \(80^\circ-20^\circ=60^\circ\). \[ 180^\circ-80^\circ-60^\circ=40^\circ. \]

5. Пусть одна часть равна \(x\). Тогда \[ 2x+3x+4x=180^\circ,\qquad 9x=180^\circ,\qquad x=20^\circ. \] Углы: \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\).

6–7. Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

6. \[ (180^\circ-40^\circ):2=70^\circ. \] Углы при основании — по \(70^\circ\).

7. \[ 180^\circ-2\cdot72^\circ=180^\circ-144^\circ=36^\circ. \]

8–10. Прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора: \[ c^2=a^2+b^2. \]

8. \[ c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ см}. \]

9. \[ b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}. \]

10. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \[ S=\frac{1}{2}\cdot9\cdot12=54\text{ см}^2. \]

11–12. Периметр

11. \[ P=6+8+10=24\text{ см}. \]

12. Полупериметр — это половина периметра: \[ p=\frac{7+9+10}{2}=\frac{26}{2}=13\text{ см}. \]

13–15. Площадь треугольника

13. \[ S=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42\text{ см}^2. \]

14. \[ S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot15=60\text{ см}^2. \]

15. В равностороннем треугольнике высота делит основание пополам. Поэтому: \[ h=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}. \] Тогда \[ S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\text{ см}^2. \]

16–17. Теорема Пифагора

Если треугольник прямоугольный, то квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон.

16. \[ 5^2+12^2=25+144=169=13^2. \] Значит, треугольник прямоугольный.

17. \[ 7^2+8^2=49+64=113\ne10^2=100. \] Равенство не выполняется, поэтому треугольник не прямоугольный.

18. Равенство треугольников

Да, треугольники равны. Это третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны.

Проверка: суммы углов в задачах 3–7 действительно дают \(180^\circ\), а в №16 равенство Пифагора выполняется.