Распиши о параллелограмме, ромбе,трапеции, прямоугольнике,квадрате и центральной симметрии

Кратко: квадрат — это одновременно прямоугольник и ромб; прямоугольник и ромб — частные случаи параллелограмма, поэтому у них есть все свойства параллелограмма плюс свои. Трапеция — отдельная фигура. У параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата есть центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей; у произвольной трапеции её нет.

1. Параллелограмм

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: \[ AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD. \]

Свойства:

• противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(BC=AD\);
• противоположные углы равны: \(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\);
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\);
• диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;
• каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Признаки. Достаточно одного условия:

• две противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные стороны попарно равны;
• диагонали делятся точкой пересечения пополам;
• противоположные углы равны.

Площадь: \[ S=ah_a=ab\sin\alpha, \] где \(a\) и \(b\) — соседние стороны, \(\alpha\) — угол между ними, \(h_a\) — высота к стороне \(a\).

2. Ромб

Определение. Параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства. Ромб наследует все свойства параллелограмма, а также:

• диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
• каждая диагональ делит углы ромба пополам;
• каждая диагональ является осью симметрии ромба;
• центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Признаки:

• параллелограмм, у которого все стороны равны;
• параллелограмм с перпендикулярными диагоналями;
• параллелограмм, в котором диагональ делит угол пополам.

Площадь: \[ S=ah=\frac{d_1d_2}{2}, \] где \(d_1,d_2\) — диагонали ромба.

3. Трапеция

Определение. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания, непараллельные — боковые стороны.

Свойства:

• сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне, равна \(180^\circ\);
• средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: \[ m=\frac{a+b}{2}; \]
• площадь трапеции: \[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h, \] где \(a,b\) — основания, \(h\) — высота.

Виды трапеций:

• равнобедренная: боковые стороны равны; углы при каждом основании равны; диагонали равны; есть ось симметрии;
• прямоугольная: одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

У произвольной трапеции нет центра симметрии. Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии, но не центр симметрии.

4. Прямоугольник

Определение. Параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства. Прямоугольник наследует свойства параллелограмма, кроме того:

• все углы равны \(90^\circ\);
• диагонали прямоугольника равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии;
• у прямоугольника, не являющегося квадратом, две оси симметрии.

Признаки:

• параллелограмм с одним прямым углом;
• параллелограмм с равными диагоналями.

Площадь: \[ S=ab. \]

5. Квадрат

Определение. Прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого есть прямой угол.

Свойства:

• все стороны равны;
• все углы прямые;
• диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам;
• диагонали делят углы квадрата пополам;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии;
• у квадрата четыре оси симметрии: две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон.

Площадь: \[ S=a^2=\frac{d^2}{2}. \]

Квадрат — частный случай параллелограмма, прямоугольника и ромба.

6. Центральная симметрия

Определение. Точки \(X\) и \(X_1\) симметричны относительно точки \(O\), если \(O\) — середина отрезка \(XX_1\). Значит, \[ OX=OX_1, \] и точки \(X,O,X_1\) лежат на одной прямой.

Построение. Чтобы построить точку, симметричную \(X\) относительно \(O\), нужно:

1. провести луч \(XO\);
2. отложить на нём за точкой \(O\) отрезок \(OX_1=OX\);
3. точка \(X_1\) — искомая.

Свойства центральной симметрии:

• центральная симметрия — это поворот на \(180^\circ\) вокруг точки \(O\);
• она сохраняет расстояния и углы, поэтому переводит фигуру в равную;
• отрезок переходит в равный и параллельный отрезок;
• прямая, не проходящая через \(O\), переходит в параллельную прямую;
• прямая, проходящая через \(O\), переходит в себя.

Фигура называется центрально-симметричной, если для каждой её точки симметричная точка тоже принадлежит этой фигуре.

Примеры:

• отрезок — центр симметрии его середина;
• окружность — центр симметрии её центр;
• параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — центр симметрии точка пересечения диагоналей;
• у произвольной трапеции центра симметрии нет.

Связь с четырёхугольниками. Из выпуклых четырёхугольников центральную симметрию имеют именно параллелограммы; её центр — точка пересечения диагоналей.

Проверка: что важно не перепутать

Фигура	Диагонали
Параллелограмм	пересекаются и делятся пополам
Прямоугольник	пересекаются, делятся пополам и равны
Ромб	пересекаются, делятся пополам и перпендикулярны; делят углы пополам
Квадрат	и равны, и перпендикулярны; делятся пополам и делят углы пополам
Трапеция	в общем случае не делятся пополам; у равнобедренной трапеции равны

Главный принцип: сначала проверяем, что фигура — параллелограмм, затем добавляем особое условие. Прямой угол даёт прямоугольник, равные стороны — ромб, а оба условия вместе — квадрат.