с рисунками

Кратко

1. Векторы строятся по правилам: умножение на число меняет длину, а минус меняет направление; сумма — «конец первого, затем второй».
2. \(\overrightarrow{NO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{NE}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{EM}=\frac12\vec x-\vec y\).
3. Средняя линия равна \(22\) см.
4. \(\overrightarrow{OM}=\frac13(\vec a+\vec b)\).

---

1. Построение векторов

Конкретные \(\vec m,\vec n,\vec k\) в задании не заданы — их можно выбрать. Для образца возьмём:

\[ \vec m=(3;0),\qquad \vec n=(0;2),\qquad \vec k=(1;1). \]

Рис. 1 — базовые векторы:

      ↑ n
      │
      │  ↗ k
O─────┴────→ m

Если \(O=(0;0)\), то концы нужных векторов получаются такими:

пункт	цепочка построения	конец вектора
а	\(O\to A:\ \frac13\vec m\), затем \(A\to B:\ 2\vec n\)	\((1;4)\)
б	\(O\to A:\ 2\vec n\), затем \(A\to B:\ -\vec k\)	\((-1;3)\)
в	\(O\to A:\ \frac14\vec m\), затем \(A\to B:\ 4\vec k\)	\(\left(\frac{19}{4};4\right)\)
г	\(O\to A:\ 3\vec k\), затем \(A\to B:\ -2\vec m\)	\((-3;3)\)

Итоговый вектор — от \(O\) к \(B\). Например, в пункте «б»:

\[ 2\vec n-\vec k=2\vec n+(-\vec k). \]

То есть сначала откладываем \(2\vec n\), потом из его конца — вектор, противоположный \(\vec k\).

---

2. Квадрат \(MNKL\)

Рис. 2:

L ——— E ——— K
│           │
│     O     │
│           │
M ——————— N

\(E\) — середина \(KL\), потому что \(KE=EL\).
\(O\) — центр квадрата.

Пусть \(\vec x=\overrightarrow{NM}\), \(\vec y=\overrightarrow{NK}\). Тогда:

\[ \overrightarrow{NO}=\frac12(\vec x+\vec y), \]

\[ \overrightarrow{NE}=\frac12\vec x+\vec y, \]

\[ \overrightarrow{EM}=\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{NE} =\vec x-\left(\frac12\vec x+\vec y\right) =\frac12\vec x-\vec y. \]

---

3. Равнобедренная трапеция

Рис. 3:

         14
      /───────\
     /│       │\
    / │       │ \   16
   /__│_______│__\
      8   14   8

Опустим высоты из концов меньшего основания. В прямоугольном треугольнике проекция боковой стороны на большее основание:

\[ 16\cos 60^\circ=16\cdot\frac12=8\text{ см}. \]

Поэтому большее основание:

\[ 8+14+8=30\text{ см}. \]

Средняя линия:

\[ \frac{14+30}{2}=22\text{ см}. \]

---

4. Треугольник с медианами

Рис. 4:

        K
       / \
      /   \
     /  O  \
    /       \
   M---------N

Пусть \(M\) — начало координат. Тогда

\[ \overrightarrow{MN}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{MK}=-\vec b. \]

Для точки пересечения медиан \(O\):

\[ \overrightarrow{MO} = \frac{\overrightarrow{MM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK}}{3} = \frac{0-\vec a-\vec b}{3}. \]

Значит,

\[ \overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{MO} = \frac{\vec a+\vec b}{3}. \]

\[ \boxed{\overrightarrow{OM}=\frac13(\vec a+\vec b)} \]