Лабораторная работа № 1 «Изучение закона сохранения механической энергии»

Коротко

Работа проверяет, что убыль потенциальной энергии груза \(E_1=mgh\) примерно равна энергии растянутой пружины \(E_2=\frac{kx^2}{2}\). В этой установке \(h=x\), \(m=0{,}100\) кг, \(k=40\) Н/м. Чтобы заполнить таблицу, нужны три твоих измерения \(x_{max}\). Теоретически \(x_{max}\approx5{,}0\) см (при \(g=10\) м/с²) или \(4{,}9\) см (при \(g=9{,}8\) м/с²), а отношение \(E_{1ср}/E_{2ср}\approx1\). Пришли три значения \(x_{max}\) — я подставлю их и посчитаю твою таблицу.

Почему формулы такие

Когда груз опускается на \(x\), он теряет потенциальную энергию \[ E_1=mgx. \] Пружина в начале не растянута, а в конце растянута на \(x\), поэтому она запасает \[ E_2=\frac{kx^2}{2}. \] Если трение мало, эти энергии равны: \[ mgx=\frac{kx^2}{2}. \] Сокращаем на \(x\) (при \(x\ne0\)): \[ mg=\frac{kx}{2} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2mg}{k}. \] Подставляем \(m=0{,}100\) кг, \(k=40\) Н/м:

• при \(g=10\) м/с²: \(x=\frac{2\cdot0{,}100\cdot10}{40}=0{,}050\) м \(=5{,}0\) см;
• при \(g=9{,}8\) м/с²: \(x=\frac{2\cdot0{,}100\cdot9{,}8}{40}=0{,}049\) м \(=4{,}9\) см.

Это ориентир: фиксатор должен показать примерно 5 см.

Почему максимум в два раза больше равновесного

В положении равновесия пружина растянута на \[ x_0=\frac{mg}{k}\approx2{,}5\text{ см}. \] Груз проходит это положение и опускается ещё на столько же — в нижней точке скорость равна нулю. Поэтому максимальное удлинение примерно \(2x_0\approx5\) см. В этой точке вся потерянная \(mgx\) перешла в энергию пружины.

Как выполнить измерения

1. Закрепи груз на крючке динамометра.
2. Подними груз рукой так, чтобы пружина не растягивалась, и поставь фиксатор вниз к скобе.
3. Отпусти груз. После остановки сними груз и измерь линейкой расстояние от упора до фиксатора — это \(x_{max}\).
4. Повтори опыт 3 раза, каждый раз возвращая фиксатор вниз.

Записывай \(x\) в метрах: например, \(0{,}048\) м; \(0{,}050\) м; \(0{,}049\) м. Если линейка в сантиметрах, переведи: \(1\) см \(=0{,}01\) м.

Как заполнить таблицу

Сначала среднее: \[ x_{ср}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\qquad h_{ср}=x_{ср}. \] Потом: \[ E_{1ср}=mgh_{ср}=0{,}100\cdot g\cdot x_{ср}, \] \[ E_{2ср}=\frac{kx_{ср}^2}{2} =\frac{40\cdot x_{ср}^2}{2} =20x_{ср}^2. \] И отношение: \[ \frac{E_{1ср}}{E_{2ср}}. \]

При \(g=10\) м/с² удобно считать \(E_{1ср}=1{,}0\cdot x_{ср}\); при \(g=9{,}8\) — \(E_{1ср}=0{,}98\cdot x_{ср}\). Главное — не смешивать \(g=9{,}8\) и \(g=10\) в одной таблице.

Пример расчёта (числа условные, не твои измерения)

Пусть \(x_1=0{,}049\) м, \(x_2=0{,}051\) м, \(x_3=0{,}050\) м. Тогда \[ x_{ср}=\frac{0{,}049+0{,}051+0{,}050}{3}=0{,}050\text{ м}. \] При \(g=10\): \[ E_{1ср}=0{,}100\cdot10\cdot0{,}050=0{,}050\text{ Дж}, \] \[ E_{2ср}=20\cdot0{,}050^2=0{,}050\text{ Дж}, \] \[ \frac{E_{1ср}}{E_{2ср}}=1{,}00. \] Если \(g=9{,}8\), получится примерно \(0{,}049\) Дж и \(0{,}050\) Дж, отношение \(\approx0{,}98\) — это тоже нормально.

Погрешность и вывод

Отклонение отношения от единицы: \[ \varepsilon= \left| \frac{E_{1ср}}{E_{2ср}}-1 \right|\cdot100\%. \] Например, если отношение \(1{,}04\), то \(\varepsilon=4\%\).

Откуда берётся погрешность:

• линейка: \(\pm1\) мм; при \(x\approx5\) см это около \(2\%\);
• масса груза: \(\pm0{,}002\) кг от \(0{,}100\) кг — \(2\%\);
• трение в фиксаторе и оси, сопротивление воздуха, неидеальная пружина.

Поэтому расхождение в пределах примерно \(5\%\) — нормальный результат. Вывод можно записать так:

«Отношение \(E_{1ср}/E_{2ср}\) оказалось равно ...; оно близко к 1. Расхождение ...% не превышает погрешности измерений (линейка, масса груза, трение). Следовательно, закон сохранения механической энергии в пределах погрешности опыта выполняется.»

Если отношение сильно отличается от 1

Проверь:

• \(x\) измерен именно от упора до фиксатора;
• в начале пружина действительно не растянута;
• фиксатор не проскальзывает;
• \(x\) переведён в метры;
• \(k=40\) Н/м, \(m=0{,}100\) кг, \(g\) одно и то же во всех расчётах.

Напиши, какие получились \(x_{max}\), — разберём.