7. Найдите корень уравнения (4x - 7)² = (4x - 29)².

Задание 7. Найдите корень уравнения
\[ \sqrt{10x-9}=9. \]

Решение. Возводим обе части в квадрат:

\[ 10x-9=81, \]

\[ 10x=90, \]

\[ x=9. \]

Проверка:

\[ \sqrt{10\cdot 9-9}=\sqrt{90-9}=\sqrt{81}=9. \]

Ответ: \(x=9\).

Теперь вижу задание 7 на фотографии. Решим уравнение:

\[ \operatorname{tg}\frac{\pi(2x-8)}{4}=-1. \]

1. Общее решение.
\[ \operatorname{tg} t = -1 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

2. Подставляем аргумент: \[ \frac{\pi(2x-8)}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

3. Делим на \(\pi\) и умножаем на 4: \[ 2x-8=-1+4k. \]

4. Выражаем \(x\): \[ 2x=7+4k, \] \[ x=\frac{7}{2}+2k=3{,}5+2k. \]

5. Ищем наименьший положительный корень.
Нужно \(x>0\): \[ 3{,}5+2k>0 \quad\Rightarrow\quad k>-1{,}75. \] Наименьшее целое \(k=-1\). Тогда \[ x=3{,}5-2=1{,}5. \]

Проверка:
При \(x=1{,}5\): \[ \frac{\pi(2x-8)}{4}=\frac{\pi(3-8)}{4}=-\frac{5\pi}{4}, \] \[ \operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1. \] Всё верно.

Ответ: \(1{,}5\).

Задание 7. Найдите корень уравнения
\[ (x+28)^5=-32. \]

Так как \((-2)^5=-32\), а пятая степень — нечётная, то корень единственный:

\[ x+28=-2, \]

\[ x=-30. \]

Проверка: \[ (-30+28)^5=(-2)^5=-32. \]

Ответ: \(-30\).

Задание 7. Найдите корень уравнения \[ \frac{4}{9}x=3\frac{1}{9}. \]

1. Переводим смешанное число в неправильную дробь: \[ 3\frac{1}{9}=\frac{3\cdot 9+1}{9}=\frac{28}{9}. \]

2. Уравнение принимает вид: \[ \frac{4}{9}x=\frac{28}{9}. \]

3. Умножаем обе части на \(\frac{9}{4}\) (или делим на \(\frac{4}{9}\)): \[ x=\frac{28}{9}\cdot\frac{9}{4}=\frac{28}{4}=7. \]

Проверка: \[ \frac{4}{9}\cdot 7=\frac{28}{9}=3\frac{1}{9}. \]

Ответ: \(x=7\).

Задание 7. Найдите корень уравнения \[ x^2-x-12=0. \] Если корней больше одного, в ответе записываем меньший.

Решение через дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49. \]

\[ \sqrt{D}=7, \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{1\pm 7}{2}. \]

\[ x_1=\frac{1+7}{2}=4,\qquad x_2=\frac{1-7}{2}=-3. \]

Можно и по теореме Виета: сумма корней \(1\), произведение \(-12\). Подходят \(-3\) и \(4\).

Проверка: \[ (-3)^2-(-3)-12=9+3-12=0, \] \[ 4^2-4-12=16-4-12=0. \]

Меньший из корней — \(-3\).

Ответ: \(-3\).

Ответ: \(x=5\).

Решение. Дроби равны, а числители у них одинаковые (оба равны 1), значит, равны и знаменатели:

\[ 6x-2=4x+8. \]

Переносим:

\[ 6x-4x=8+2, \]

\[ 2x=10, \]

\[ x=5. \]

Проверка. Знаменатели при \(x=5\):

\[ 6\cdot5-2=28,\qquad 4\cdot5+8=28, \]

оба не равны нулю, и

\[ \frac{1}{28}=\frac{1}{28}. \]

Корень подходит: \(x=5\).

Если понадобится, разберу так же задания 8 и 9 с этого фото.

Ответ: \(x = -37\).

Решение.
Условие существования корня: подкоренное выражение неотрицательно, и правая часть тоже должна быть неотрицательной:

\[ -35x+74 \ge 0,\qquad -x \ge 0 \ \Rightarrow\ x \le 0. \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ -35x+74=x^2, \]

\[ x^2+35x-74=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=35^2+4\cdot 74=1225+296=1521=39^2, \]

\[ x_{1,2}=\frac{-35\pm 39}{2}. \]

\[ x_1=2,\qquad x_2=-37. \]

Проверяем условие \(x \le 0\):
\(x=2\) не подходит — правая часть была бы равна \(-2<0\), это посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат.
\(x=-37\) подходит.

Проверка: \[ -35\cdot(-37)+74=1295+74=1369, \] \[ \sqrt{1369}=37=-(-37). \]

Корень только один, поэтому правило «запишите больший корень» ничего не меняет.

Ответ: \(-37\).

Задание 7. Найдите корень уравнения \[ 3^{5x-8}=243. \]

Решение. Представим правую часть как степень тройки: \[ 243=3^5. \]

Тогда \[ 3^{5x-8}=3^5. \]

Основания равны, значит, равны и показатели: \[ 5x-8=5, \] \[ 5x=13, \] \[ x=\frac{13}{5}=2{,}6. \]

Проверка: \[ 3^{5\cdot 2{,}6-8}=3^{13-8}=3^5=243. \]

Ответ: \(2{,}6\).

Задание 7 (с фото). Найдите корень уравнения \[ \log_{\frac13}(4x+9)=-4. \]

1. Переходим от логарифма к степени: \[ 4x+9=\left(\frac13\right)^{-4}. \]

2. Считаем правую часть: \[ \left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81. \]

3. Решаем уравнение: \[ 4x+9=81, \] \[ 4x=72, \] \[ x=18. \]

Проверка условия логарифма: при \(x=18\) \[ 4x+9=72+9=81>0, \] значит, выражение под логарифмом положительно.

Проверка по определению: \[ \log_{\frac13}81=-4, \] так как \(\left(\frac13\right)^{-4}=81\).

Ответ: \(18\).

Если нужно, разберу с этого же фото задания 8 или 9.

Задание 7. Найдите корень уравнения \[ \frac{x-214}{x+6}=-10. \]

1. Условие: знаменатель не равен нулю: \[ x+6\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -6. \]

2. Умножаем обе части на \(x+6\): \[ x-214=-10(x+6). \]

3. Раскрываем скобки: \[ x-214=-10x-60. \]

4. Переносим: \[ x+10x=-60+214, \] \[ 11x=154, \] \[ x=14. \]

Проверка: при \(x=14\) знаменатель \(14+6=20\ne 0\), а \[ \frac{14-214}{20}=\frac{-200}{20}=-10. \]

Ответ: \(14\).

Задание 7 по фото. Найдите корень уравнения \[ \sqrt[3]{9x-10}=5. \]

Решение. Возводим обе части в третью степень: \[ 9x-10=5^3, \] \[ 9x-10=125, \] \[ 9x=135, \] \[ x=15. \]

Проверка: \[ \sqrt[3]{9\cdot 15-10}=\sqrt[3]{135-10}=\sqrt[3]{125}=5. \]

Ответ: \(x=15\).

Задание 7 по фото. Решите уравнение \[ \cos\frac{\pi(x-8)}{3}=\frac12. \] В ответе нужно записать наибольший отрицательный корень.

1. Общее решение уравнения \(\cos t=\frac12\): \[ t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

2. Подставляем \(t=\frac{\pi(x-8)}{3}\):

Первый случай: \[ \frac{\pi(x-8)}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi k. \] Делим на \(\pi\) и умножаем на 3: \[ x-8=1+6k, \] \[ x=9+6k. \]

Второй случай: \[ \frac{\pi(x-8)}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k, \] \[ x-8=-1+6k, \] \[ x=7+6k. \]

3. Ищем наибольший отрицательный корень.

Для \(x=9+6k\): \[ x<0 \Rightarrow 9+6k<0 \Rightarrow k<-1{,}5. \] Наибольшее подходящее целое \(k=-2\), тогда \[ x=9-12=-3. \]

Для \(x=7+6k\): \[ 7+6k<0 \Rightarrow k<-\frac76. \] Наибольшее целое \(k=-2\), тогда \[ x=7-12=-5. \]

Из чисел \(-3\) и \(-5\) наибольшее отрицательное — это \(-3\).

Проверка: \[ \cos\frac{\pi(-3-8)}{3}=\cos\left(-\frac{11\pi}{3}\right)=\cos\frac{11\pi}{3}=\frac12. \]

Ответ: \(-3\).

Задание 7. Найдите корень уравнения \[ \left(\frac{1}{11}\right)^{14-2x}=121. \]

Решение.
Перепишем обе части через степень числа \(11\): \[ \left(\frac{1}{11}\right)^{14-2x}=11^{-(14-2x)} \] и \[ 121=11^2. \]

Получаем: \[ 11^{-14+2x}=11^2. \]

Основания равны, поэтому равны и показатели: \[ -14+2x=2, \] \[ 2x=16, \] \[ x=8. \]

Проверка: \[ \left(\frac{1}{11}\right)^{14-2\cdot 8}=\left(\frac{1}{11}\right)^{-2}=11^2=121. \]

Ответ: \(8\).

Задание 7. Найдите корень уравнения \[ \log_4(6x-22)=\log_4(3x+5). \]

Ответ: \(x=9\).

Решение. Логарифмы имеют одинаковое основание \(4>0\), \(4\ne1\). Поэтому их аргументы равны: \[ 6x-22=3x+5. \] \[ 6x-3x=5+22, \] \[ 3x=27, \] \[ x=9. \]

Проверка области определения: \[ 6\cdot9-22=54-22=32>0, \] \[ 3\cdot9+5=27+5=32>0. \] Оба выражения под логарифмами положительны, значит, корень подходит. При этом \[ \log_4 32=\log_4 32. \]

Ответ: \(9\).