только 385

Коротко: 385. а) \((0;-4)\), \((4;0)\); б) \(\left(-\frac32;\frac{13}{4}\right)\), \((1;2)\).

Что строить на графике

а) Окружность \(x^2+y^2=16\) с центром \((0;0)\) и радиусом \(4\). Прямая \(x-y=4\), то есть \(y=x-4\). Они пересекаются в точках \((4;0)\) и \((0;-4)\).

б) Парабола \(y=x^2+1\) с вершиной \((0;1)\). Прямая \(x+2y=5\), то есть \(y=\frac{5-x}{2}\). Их общие точки: \((1;2)\) и \(\left(-\frac32;\frac{13}{4}\right)\).

Графический способ: решение системы — это координаты общих точек графиков.

Аналитическое решение

а) \[ \begin{cases} x^2+y^2=16,\\ x-y=4 \end{cases} \] Из второго уравнения: \[ y=x-4. \] Подставляем в первое: \[ x^2+(x-4)^2=16 \] \[ x^2+x^2-8x+16=16 \] \[ 2x^2-8x=0 \] \[ 2x(x-4)=0. \] Значит, \(x=0\) или \(x=4\). При \(x=0\): \(y=-4\). При \(x=4\): \(y=0\).

б) \[ \begin{cases} y=x^2+1,\\ x+2y=5 \end{cases} \] Подставляем \(y=x^2+1\) во второе уравнение: \[ x+2(x^2+1)=5 \] \[ 2x^2+x-3=0. \] Дискриминант: \[ D=1+24=25, \] \[ x=\frac{-1\pm 5}{4}. \] Получаем \(x=1\) или \(x=-\frac32\).

Если \(x=1\), то \(y=1^2+1=2\).
Если \(x=-\frac32\), то \(y=\frac94+1=\frac{13}{4}\).

Проверка: обе найденные пары действительно удовлетворяют обоим уравнениям системы. В похожем задании удобно выразить переменную из линейного уравнения и подставить в квадратное; график помогает увидеть число и примерное положение точек.