Вопросы для повторения к главе X: 1 Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вопросы для повторения к главе X
1 Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.
2 Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
3 Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна длина нулевого вектора?
4 Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) и противоположно направленные векторы \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\).
5 Дайте определение равных векторов.
243 Векторы
Кратко — ответы по всем пяти вопросам
1. Векторные величины из физики: скорость \(\vec{v}\), ускорение \(\vec{a}\), сила \(\vec{F}\), перемещение \(\vec{s}\), импульс \(\vec{p}\), напряжённость электрического поля \(\vec{E}\), момент силы.
2. Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано, какой конец считается началом, а какой — концом (вектор \(\vec{AB}\): \(A\) — начало, \(B\) — конец). Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают: \(\vec{AA}\). Его направление не определено, а длина равна нулю.
3. Длиной (модулем) ненулевого вектора \(\vec{AB}\) называется длина отрезка \(AB\), то есть \(|\vec{AB}| = AB\). Длина нулевого вектора равна нулю: \(|\vec{0}| = 0\).
4. Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Сонаправленные и противоположно направленные векторы — частные случаи коллинеарных.
[Рисунок: на одной прямой или на двух параллельных прямых отложены стрелки \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), направленные в одну сторону — они сонаправлены; на параллельных прямых отложены стрелки \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\), направленные в разные стороны — они противоположно направлены.]
5. Равные векторы — это векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины: \(\vec{a} = \vec{b}\), если \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\) и \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\).
Ключевые шаги и доводы
Пункт 2. Определение вектора состоит из двух частей: «отрезок» (есть длина) и «направленный» (есть начало и конец). Поэтому у вектора две характеристики — длина и направление. Если начало и конец совпали, отрезок «вырождается» в точку, направление задать нельзя, а длина \(AA = 0\) — это и есть нулевой вектор.
Пункт 3. Длина вектора — это просто длина соответствующего отрезка, число неотрицательное. Для нулевого вектора отрезок имеет нулевую длину, поэтому \(|\vec{0}| = 0\).
Пункт 4. Коллинеарность — это свойство «лежать на параллельных прямых». Дальше коллинеарные векторы делятся на два вида:
- стрелки смотрят в одну сторону — сонаправленные (\(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\));
- стрелки смотрят в противоположные стороны — противоположно направленные (\(\vec{c} \uparrow\downarrow \vec{d}\)).
При рисовании важно: стрелки должны быть на параллельных прямых (или на одной прямой), иначе векторы не коллинеарны.
Пункт 5. В определении равных векторов обязательны оба условия: одинаковое направление и одинаковая длина. Если совпала только длина, а направления разные, векторы не равны. Отсюда важное следствие: равные векторы всегда коллинеарны, но коллинеарные векторы не всегда равны.
Проверка
- Нулевой вектор коллинеарен любому вектору и имеет длину \(0\) — это не противоречит пунктам 3 и 4.
- Равные векторы — частный случай сонаправленных, а сонаправленные — частный случай коллинеарных. Цепочка «коллинеарные → сонаправленные → равные» идёт от самого широкого понятия к самому узкому, и это хороший способ себя проверить.
- В пункте 4 рисунок должен содержать две пары стрелок: \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) — в одну сторону; \(\vec{c}\), \(\vec{d}\) — в разные.
Обсуждение
4 сообщенияМожно пожалуйста кратко
Кратко
1. Векторные величины: скорость \(\vec{v}\), ускорение \(\vec{a}\), сила \(\vec{F}\), перемещение \(\vec{s}\), импульс \(\vec{p}\).
2. Вектор — направленный отрезок, у которого указано начало и конец. Нулевой вектор — у него начало и конец совпадают (\(\vec{AA}\)); направление не определено, длина равна \(0\).
3. Длина (модуль) вектора \(\vec{AB}\) — это длина отрезка \(AB\): \(|\vec{AB}| = AB\). Длина нулевого вектора \(|\vec{0}| = 0\).
4. Коллинеарные векторы — лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Сонаправленные — стрелки в одну сторону, противоположно направленные — в разные. Нулевой вектор коллинеарен любому.
5. Равные векторы — сонаправлены и имеют равные длины: \(\vec{a} = \vec{b}\), если \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\) и \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\).
К рисунку в п. 4: по одной прямой — \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в одну сторону (сонаправлены), по параллельным — \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) в разные (противоположно направлены).
Коротко
6–20 (кратко)
6. «\(\vec a\) отложен от \(A\)» — начало \(\vec a\) совмещено с \(A\). От любой точки \(B\) проводим луч сонаправленно \(\vec a\) и откладываем \(BC=|\vec a|\); тогда \(\vec{BC}=\vec a\). Точка \(C\) единственна.
7. Сумма — вектор из начала \(\vec a\) в конец \(\vec b\), если \(\vec b\) отложен от конца \(\vec a\). Правило треугольника: \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).
8. \(\vec a+\vec 0=\vec a\): при откладывании \(\vec 0\) от конца \(\vec a\) конец не меняется.
9. \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\) (обе суммы — диагональ параллелограмма); \((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)\) (оба пути идут из начала первого в конец последнего).
10. \(\vec a,\vec b\) отложены от одной точки; сумма — диагональ параллелограмма, выходящая из этой точки.
11. Векторы откладывают последовательно: конец предыдущего — начало следующего; сумма — из начала первого в конец последнего.
12. \(\vec a-\vec b=\vec c\), где \(\vec c+\vec b=\vec a\). Построение: от одной точки отложить \(\vec a,\vec b\); вектор из конца \(\vec b\) в конец \(\vec a\).
13. \(-\vec a\): длина та же, направление противоположное. \(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\); проверка: \((\vec a+(-\vec b))+\vec b=\vec a\).
14. \(k\vec a\): длина \(|k||\vec a|\); при \(k>0\) сонаправлен \(\vec a\), при \(k<0\) противоположен; при \(k=0\) или \(\vec a=\vec 0\) — нулевой.
15. а) \(k\vec 0=\vec 0\); б) \(0\cdot\vec a=\vec 0\).
16. Нет: \(k\vec a\) коллинеарен \(\vec a\).
17. \((kl)\vec a=k(l\vec a)\); \((k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a\); \(k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b\); \(1\cdot\vec a=\vec a\); \((-1)\vec a=-\vec a\).
18. Средняя линия треугольника: если \(M,N\) — середины \(AB,BC\), то \(\vec{MN}=\frac12\vec{AC}\), поэтому \(MN\parallel AC\) и \(MN=\frac12 AC\).
19. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
20. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Если \(M,N\) — середины боковых сторон, \(\vec{AD}=\vec a,\ \vec{BC}=\vec b\), то \(\vec{MN}=\frac{\vec a+\vec b}{2}\).
988–990
988. Если \(\vec m\uparrow\uparrow\vec n\), длины складываются: \(|\vec m+\vec n|=|\vec m|+|\vec n|\). Если \(\vec m\uparrow\downarrow\vec n\) и \(|\vec m|\ge|\vec n|\), то \(|\vec m+\vec n|=|\vec m|-|\vec n|\).
989. \(||\vec x|-|\vec y||\le|\vec x+\vec y|\le|\vec x|+|\vec y|\). Верхнее — неравенство треугольника; нижнее следует из \(|\vec x|=|(\vec x+\vec y)+(-\vec y)|\le|\vec x+\vec y|+|\vec y|\) и симметрично. (В книге, скорее всего, опечатка: слева \(||\vec x|-|\vec y||\), а не \(|\vec x-\vec y|\).)
990. \(\vec{BN}=\frac23\vec{BC}=\frac23\vec b\), поэтому \[ \vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}=-\vec a+\frac23\vec b. \]
