это контрольеая работа

Понял, оформляю по образцу: переносим слагаемые, приводим подобные, делим на коэффициент (при делении на отрицательное знак меняется), рисуем ось, ответ — промежутком.

№1

\[ 1-7x\le 3x-7 \] \[ -7x-3x\le -7-1 \] \[ -10x\le -8 \quad \Big|\;:(-10) \] \[ x\ge 0{,}8 \] Ось: точка \(0{,}8\) закрашена, штриховка вправо. Ответ: \([0{,}8;+\infty)\) — вариант 1.

№2

Каждое неравенство отдельно: \[ x-2{,}6\le 0 \Rightarrow x\le 2{,}6 \] \[ x-1\ge 1 \Rightarrow x\ge 2 \] Общая часть: \[ \begin{cases} x\le 2{,}6\\ x\ge 2 \end{cases}\Rightarrow 2\le x\le 2{,}6 \] Ось: две закрашенные точки \(2\) и \(2{,}6\), штриховка между ними (там штриховки накладываются). Ответ: \([2;2{,}6]\) — вариант 1.

№3

\[ x^2-8x+7\ge 0 \] Приравниваем к нулю и находим корни: \[ D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36 \] \[ x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2},\qquad x_1=1,\quad x_2=7 \] Ветви параболы вверх, знак «\(\ge 0\)» — значит берём части вне корней (включая сами корни, потому что неравенство нестрогое). Ось: точки \(1\) и \(7\) закрашены, штриховка влево от \(1\) и вправо от \(7\). Ответ: \((-\infty;1]\cup[7;+\infty)\) — вариант 3.

№4

\[ (x+6)(x-1)<0 \] Корни: \(x=-6\) и \(x=1\). Ветви вверх, знак «\(<0\)» — берём часть между корнями, концы не включаем (знак строгий). Ось: точки \(-6\) и \(1\) выколоты, штриховка между ними. Ответ: \((-6;1)\) — вариант 4.

№5

\[ 25x^2>49 \] \[ 25x^2-49>0 \] \[ x^2>\frac{49}{25}\quad\Rightarrow\quad x_{1,2}=\pm\frac{7}{5}=\pm 1{,}4 \] Знак «\(>0\)» — берём части вне корней. Ось: точки \(-1{,}4\) и \(1{,}4\) выколоты (знак строгий), штриховка влево и вправо. Ответ: \((-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\) — вариант 3.

Чтобы проверить себя: подставь в ответ любое число из промежутка — неравенство должно стать верным, а число вне промежутка — неверным. Например, в №5 при \(x=0\): \(0>49\) — неверно, значит ноль в ответ не входит.

Понял, тогда мне нужно сверить с самим заданием, а не по памяти: у вариантов ответа часто отличаются только скобки (круглая или квадратная) или направление луча, и от этого «мой» номер не совпадает с ключом.

Пришли, пожалуйста, фото страницы с условиями и вариантами ответов (или ключ) — и укажи, с каким номером не сходится. Я пересчитаю именно по твоим вариантам и покажу, какой брать.

Понял. Тогда сверяем не по номерам вариантов, а по самим промежуткам — их даёт только условие:

1. \(1-7x\le 3x-7 \Rightarrow x\ge 0{,}8\), то есть \([0{,}8;+\infty)\).
2. \(\begin{cases}x\le 2{,}6\\ x\ge 2\end{cases}\Rightarrow [2;2{,}6]\).
3. \(x^2-8x+7\ge 0 \Rightarrow (-\infty;1]\cup[7;+\infty)\).
4. \((x+6)(x-1)<0 \Rightarrow (-6;1)\).
5. \(25x^2>49 \Rightarrow (-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\).

Номера вроде «1, 1, 3, 4, 3» — это просто «в каком варианте стоит мой промежуток», и порядок вариантов я мог прочитать иначе, чем в бланке. Поэтому сначала сравни текст промежутка: если в ключе для какого-то номера стоит другой промежуток, значит, условие прочитано по-другому.

Скажи, в каком именно номере не совпало и какой промежуток (или вариант) стоит в ключе — разберу этот пункт заново.

№1 \[ 1-7x\le 3x-7 \] \[ -7x-3x\le -7-1 \] \[ -10x\le -8 \] \[ x\ge 0{,}8 \] Ответ: \([0{,}8;+\infty)\).

№2 \[ \begin{cases} x-2{,}6\le 0,\\ x-1\ge 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x\le 2{,}6,\\ x\ge 2. \end{cases} \] \[ 2\le x\le 2{,}6 \] Ответ: \([2;2{,}6]\).

№3 \[ x^2-8x+7\ge 0 \] \[ D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7=36,\qquad x_{1}=1,\quad x_{2}=7 \] \[ x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty) \] Ответ: \((-\infty;1]\cup[7;+\infty)\).

№4 \[ (x+6)(x-1)<0 \] \[ x_{1}=-6,\quad x_{2}=1 \] \[ -6<x<1 \] Ответ: \((-6;1)\).

№5 \[ 25x^2>49 \] \[ x^2>\frac{49}{25} \] \[ x_{1}=-1{,}4,\quad x_{2}=1{,}4 \] \[ x\in(-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty) \] Ответ: \((-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\).

№1 \[ 1-7x\le 3x-7 \] \[ -7x-3x\le -7-1 \] \[ -10x\le -8 \] \[ x\ge 0{,}8 \] Ответ: \([0{,}8;+\infty)\).

№2 \[ \begin{cases} x-2{,}6\le 0\\ x-1\ge 1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x\le 2{,}6\\ x\ge 2 \end{cases} \] \[ 2\le x\le 2{,}6 \] Ответ: \([2;2{,}6]\).

№3 \[ x^{2}-8x+7\ge 0 \] \[ x^{2}-8x+7=0,\qquad D=64-28=36 \] \[ x_{1}=\frac{8-6}{2}=1,\qquad x_{2}=\frac{8+6}{2}=7 \] Ответ: \((-\infty;1]\cup[7;+\infty)\).

№4 \[ (x+6)(x-1)<0 \] \[ x_{1}=-6,\qquad x_{2}=1 \] Ответ: \((-6;1)\).

№5 \[ 25x^{2}>49 \] \[ x^{2}>\frac{49}{25} \] \[ |x|>1{,}4 \] Ответ: \((-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\).

Вот это место:

\[ 1-7x\le 3x-7 \]

Переношу \(x\) влево, числа вправо:

\[ -7x-3x\le -7-1 \]

\[ -10x\le -8 \]

Делю обе части на \(-10\). Делим на отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный:

\[ x\ge \frac{-8}{-10} \]

\[ x\ge \frac{8}{10}=0{,}8 \]

То есть \(0{,}8\) — это просто \(\frac{8}{10}\), сокращать не нужно, в ответе удобнее десятичная дробь.

Проверка: возьмём \(x=1\) (оно больше \(0{,}8\)): \[ 1-7\cdot 1=-6,\qquad 3\cdot 1-7=-4 \] \(-6\le -4\) — верно, значит \(x=1\) входит в ответ.

А если взять \(x=0\): \[ 1-0=1,\qquad 0-7=-7 \] \(1\le -7\) — неверно, значит \(0\) не входит. Поэтому граница идёт после нуля, в точке \(0{,}8\).

В условии числа \(0{,}8\) нет — оно получается в конце решения. Вот откуда:

\[ 1-7x\le 3x-7 \]

Переносим \(x\) влево, числа вправо:

\[ -7x-3x\le -7-1 \]

\[ -10x\le -8 \]

Делим обе части на \(-10\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

\[ x\ge \frac{-8}{-10} \]

\[ \frac{-8}{-10}=\frac{8}{10}=0{,}8 \]

\[ x\ge 0{,}8 \]

То есть \(0{,}8\) — это просто \(8:10\), получившееся из \(-8\) и \(-10\).

Проверка: при \(x=0{,}8\) \[ 1-7\cdot 0{,}8=1-5{,}6=-4{,}6 \] \[ 3\cdot 0{,}8-7=2{,}4-7=-4{,}6 \] Слева и справа одинаково — граница найдена верно. При \(x=1\): \(-6\le -4\) — верно, значит луч идёт вправо. Ответ: \([0{,}8;+\infty)\).

№5

Рассм. функцию \(y=25x^{2}-49\)

Нули: \(25x^{2}-49=0\)

\[ 25x^{2}=49 \] \[ x^{2}=\frac{49}{25} \] \[ x_{1}=-1{,}4,\qquad x_{2}=1{,}4 \]

Рисунок: парабола ветвями вверх, на оси точки \(-1{,}4\) и \(1{,}4\) — выколотые (знак строгий).

Над осью: \(+\) левее \(-1{,}4\), \(-\) между корнями, \(+\) правее \(1{,}4\).

Штриховка — внешние части (там где \(+\)), так как неравенство \(>0\).

Ответ: \((-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\).

Отличие от образца №5 в тетради: там было \(\le 0\), поэтому брали середину и скобки квадратные; здесь \(>0\) — берём края и скобки круглые.

№5

\[ 25x^{2}>49 \]

Рассмотрим функцию \(y=25x^{2}-49\).

Нули функции:

\[ 25x^{2}-49=0 \]

\[ (5x-7)(5x+7)=0 \]

\[ x_{1}=-1{,}4,\qquad x_{2}=1{,}4 \]

Схема: парабола ветвями вверх, точки \(-1{,}4\) и \(1{,}4\) выколоты, знаки \(+\) \(-\) \(+\), штриховка на внешних частях.

\[ x\in(-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty) \]

Ответ: \((-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\).

Понял: для №5 берём условие с фото.

№5 \[ x^{2}-6x+8\le 0 \]

Рассмотрим функцию \[ y=x^{2}-6x+8. \]

Нули функции: \[ x^{2}-6x+8=0. \]

По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_{1}+x_{2}=6,\\ x_{1}x_{2}=8, \end{cases} \qquad x_{1}=2,\quad x_{2}=4. \]

Схема: парабола ветвями вверх, пересекает ось \(x\) в точках \(2\) и \(4\).
Знаки: \(+\) при \(x<2\), \(-\) при \(2<x<4\), \(+\) при \(x>4\).

Так как неравенство \(\le 0\), берём промежуток со знаком \(-\), а точки \(2\) и \(4\) включаем (неравенство нестрогое).

Ответ: \([2;4]\).

На фото это решение как раз верное: корни \(2\) и \(4\), ответ \([2;4]\).

Карточка

№1 \[ 1-7x\le 3x-7 \] \[ 8-10x\le 0 \] Рассмотрим \(y=8-10x\). Нуль функции: \(x=0{,}8\). Коэффициент \(k=-10<0\), функция убывает. Схема знаков: \(+\) при \(x<0{,}8\), \(-\) при \(x>0{,}8\). Нужно \(y\le 0\), значит \(x\ge 0{,}8\). Ответ: \([0{,}8;+\infty)\).

№2 \[ \begin{cases} x-2{,}6\le 0\\ x-1\ge 1 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x\le 2{,}6\\ x\ge 2 \end{cases} \] \[ 2\le x\le 2{,}6 \] Ответ: \([2;2{,}6]\).

№3 \[ x^{2}-8x+7\ge 0 \] Рассмотрим \(y=x^{2}-8x+7\). Нули функции: \[ x^{2}-8x+7=0,\qquad D=64-28=36 \] \[ x_{1}=1,\qquad x_{2}=7 \] Ветви параболы вверх. Схема знаков: \(+\) на \((-\infty;1)\), \(-\) на \((1;7)\), \(+\) на \((7;+\infty)\). Нужно \(y\ge 0\), точки включаем. Ответ: \((-\infty;1]\cup[7;+\infty)\).

№4 \[ (x+6)(x-1)<0 \] Рассмотрим \(y=(x+6)(x-1)\). Нули функции: \(x_{1}=-6\), \(x_{2}=1\). Ветви параболы вверх. Схема знаков: \(+\) на \((-\infty;-6)\), \(-\) на \((-6;1)\), \(+\) на \((1;+\infty)\). Нужно \(y<0\), точки выколоты. Ответ: \((-6;1)\).

№5 \[ 25x^{2}>49 \] \[ 25x^{2}-49>0 \] \[ (5x-7)(5x+7)>0 \] Нули функции: \(x_{1}=-1{,}4\), \(x_{2}=1{,}4\). Ветви параболы вверх. Схема знаков: \(+\) на \((-\infty;-1{,}4)\), \(-\) на \((-1{,}4;1{,}4)\), \(+\) на \((1{,}4;+\infty)\). Нужно \(y>0\), точки выколоты. Ответ: \((-\infty;-1{,}4)\cup(1{,}4;+\infty)\).

Если в карточке в №5 записано \(x^{2}-6x+8\le 0\), то корни \(2\) и \(4\), знаки \(+\) \(-\) \(+\), ответ \([2;4]\).