решите уравнение ×⁴=-256

Краткий ответ. Если искать только действительные корни, то решений нет: \(x^4\) не может быть отрицательным. Если изучали комплексные числа, корней четыре: \[ x_1=2\sqrt2+2\sqrt2i,\qquad x_2=-2\sqrt2+2\sqrt2i, \] \[ x_3=-2\sqrt2-2\sqrt2i,\qquad x_4=2\sqrt2-2\sqrt2i. \]

Ключевые шаги.

1. В действительных числах \(x^4\ge 0\) при любом \(x\), а \(-256<0\). Поэтому действительных корней нет.
2. В комплексных числах записываем: \[ -256=256(\cos\pi+i\sin\pi)=4^4 e^{i\pi}. \] Корни четвёртой степени находятся по формуле \[ x=4\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}{4}+i\sin\frac{\pi+2\pi k}{4}\right), \] где \(k=0,1,2,3\). Подстановка этих значений и даёт четыре корня выше.

Проверка. Например, для \(x=2\sqrt2+2\sqrt2i\): \[ x^2=(2\sqrt2+2\sqrt2i)^2=16i, \] тогда \[ x^4=(16i)^2=-256. \] Значит, корень подходит.