1) Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка E лежит на стороне AB

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка E лежит на стороне AB, а точка F - на стороне BC, причем EF параллельна плоскости (ADC), точка P - середина AD, а точка K - середина DC. Докажите, что EF || PK. Каково взаимное расположение прямых PK и AB? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC = 40° и ∠BCA = 80°?

2. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая a лежит в плоскости α. Каково взаимное расположение прямой a и плоскости β? Сделайте рисунок и пояснение.

Answer

№ 1

$$ EF \subset (ABC),\quad EF \parallel (ADC),\quad (ABC)\cap(ADC)=AC \;\Rightarrow\; EF \parallel AC. $$

$P$ — середина $AD$, $K$ — середина $DC$, значит $PK$ — средняя линия $\triangle ADC$, поэтому $PK \parallel AC$. Отсюда $EF \parallel PK$.

$PK \parallel AC$, а $AB$ пересекает $AC$ в точке $A$ и не пересекает $PK$ ⇒ $PK$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые.

$$ \angle(PK,\,AB)=\angle BAC=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ. $$

№ 2

$a \subset \alpha$, $\alpha \cap \beta = m$. Три случая:

$a \parallel m$ ⇒ $a \parallel \beta$;

$a \cap m = M$ ⇒ $a$ пересекает $\beta$ в точке $M$;

$a$ совпадает с $m$ ⇒ $a \subset \beta$.

Рисунок: плоскость $\beta$ пересекает $\alpha$ по прямой $m$; в $\alpha$ проведена $a \parallel m$ (либо через точку $M \in m$, либо $a$ совпадает с $m$).