Реши 2 вариан

Я решил оба столбца: слева — вариант 1, справа — вариант 2. Если нужен только второй вариант, смотри правую колонку.

Краткие ответы

№ 1. Прямоугольник и биссектриса

В прямоугольнике угол \(A\) прямой, поэтому биссектриса \(AK\) делит его пополам:
\[ \angle BAK=45^\circ. \] Треугольник \(ABK\) прямоугольный, значит второй острый угол тоже \(45^\circ\). Поэтому он равнобедренный: \[ AB=BK. \]

Вариант 1:
\[ BK=AB=3,\quad BC=3+12=15, \] \[ S_{ABCD}=AB\cdot BC=3\cdot15=45\text{ см}^2. \]

Вариант 2:
Пусть \(AB=BK=x\). По теореме Пифагора: \[ x^2+x^2=8^2, \] \[ 2x^2=64,\quad x^2=32,\quad x=4\sqrt2. \] Тогда \[ BC=BK+KC=4\sqrt2+10, \] \[ S=4\sqrt2(4\sqrt2+10)=32+40\sqrt2\text{ см}^2. \]

№ 2. Дана площадь, найти периметр

Для прямоугольника: \[ S=ab,\quad P=2(a+b). \]

Вариант 1: \(a=3b\), \(S=48\): \[ 3b^2=48 \Rightarrow b^2=16 \Rightarrow b=4,\quad a=12, \] \[ P=2(12+4)=32\text{ см}. \]

Вариант 2: \(a=4b\), \(S=36\): \[ 4b^2=36 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=3,\quad a=12, \] \[ P=2(12+3)=30\text{ см}. \]

№ 3. Дан периметр, найти площадь

Вариант 1: \(P=144\), \(a:b=5:7\).
Пусть \(a=5k\), \(b=7k\): \[ 2(5k+7k)=144, \] \[ 24k=144 \Rightarrow k=6. \] Значит: \[ a=30,\quad b=42, \] \[ S=30\cdot42=1260\text{ см}^2. \]

Вариант 2: \(P=74\), \(a-b=7\).
Полупериметр: \[ a+b=37. \] Получаем систему: \[ \begin{cases} a+b=37,\\ a-b=7. \end{cases} \] Отсюда \(a=22\), \(b=15\), поэтому: \[ S=22\cdot15=330\text{ см}^2. \]