реши 5 6 7 8 9 10 11
Сверь числа и знаки с фото.
Таблица | № опыта | \(t\), с | \(\Delta t_{случ}\), с | \(\langle t\rangle\), с | \(\langle a_ц\rangle\), м/с² | \(\langle \omega\rangle\), рад/с | \(\langle \upsilon\rangle\), м/с | | 1 | 12,92 | — | — | — | — | — | | 2 | 12,06 | — | — | — | — | — | | 3 | 12,51 | — | — | — | — | — | | 4 | 12,92 | — | — | — | — | — | | 5 | 12,44 | — | — | — | — | — | | Среднее | 12,64 | — | — | — | — | — |
Рассчитайте и занесите в таблицу среднее значение времени \(\langle t\rangle\), за которое шарик совершает \(N = 10\) оборотов: \[\langle t\rangle = \frac{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{5}\] Рукописно: \(\langle t\rangle = \frac{12,57+12,06+12,51+12,92+12,44}{5} = 12,64\)
Рассчитайте и занесите в таблицу среднее значение периода обращения \(\langle T\rangle\) шарика: \[\langle T\rangle = \frac{\langle t\rangle}{N}\] Рукописно: \(\langle T\rangle = \frac{12,64}{10} = 1,264\)
По формуле \(\langle a_ц\rangle = \frac{4\pi^2 R}{\langle T\rangle^2}\) определите и запишите в таблицу среднее значение модуля ускорения. Рукописно: \(R = 10\) см \(= 0{,}10\) м.
По формулам \(\langle \omega\rangle = \frac{2\pi}{\langle T\rangle}\) и \(\langle \upsilon\rangle = \frac{2\pi R}{\langle T\rangle}\) определите и запишите в таблицу средние значения модулей угловой и линейной скоростей.
Вычислите максимальное значение абсолютной случайной погрешности \(\Delta t_{случ\ max}\) измерения времени \(t\).
Определите абсолютную систематическую погрешность \(\Delta t_{сист}\) измерения времени \(t\). Рукописно: \(\Delta t_{сист} = 0{,}01\) с.
Вычислите абсолютную погрешность \(\Delta t = \Delta t_{случ\ max} + \Delta t_{сист}\) прямого измерения времени \(t\).
Вычислите относительную погрешность прямого измерения времени: \(\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t\rangle} \cdot 100\%\).
Запишите результаты прямого измерения времени в интервальной форме: \(t = (\langle t\rangle \pm \Delta t)\) с; \(\varepsilon_t = ...\) %.
Коротко
При \(R = 0{,}10\) м и \(\langle t\rangle = 12{,}64\) с за \(N = 10\) оборотов (\(\langle T\rangle = 1{,}264\) с):
| № | Ответ |
|---|---|
| 5 | \(\langle a_ц\rangle \approx 2{,}5\) м/с² |
| 6 | \(\langle\omega\rangle \approx 5{,}0\) рад/с; \(\langle\upsilon\rangle \approx 0{,}50\) м/с |
| 7 | \(\Delta t_{случ\,max} \approx 0{,}58\) с |
| 8 | \(\Delta t_{сист} = 0{,}01\) с |
| 9 | \(\Delta t \approx 0{,}59\) с |
| 10 | \(\varepsilon_t \approx 4{,}7\%\) |
| 11 | \(t = (12{,}6 \pm 0{,}6)\) с; \(\varepsilon_t \approx 4{,}7\%\) |
Главная идея работы: измеряем время 10 оборотов → находим период одного оборота → по периоду и радиусу считаем \(\omega\), \(\upsilon\), \(a_ц\) → оцениваем, насколько точны измерения.
Как считать
1. Период обращения. \[ \langle T\rangle = \frac{\langle t\rangle}{N} = \frac{12{,}64}{10} = 1{,}264\ \text{с}. \] Это время одного полного оборота.
2. Ускорение (5). Формула из условия — это \(a = \upsilon^2/R\), в которую подставили \(\upsilon = 2\pi R/T\): \[ a = \frac{(2\pi R/T)^2}{R} = \frac{4\pi^2R}{T^2}. \] \[ \langle a_ц\rangle = \frac{39{,}5\cdot0{,}10}{1{,}264^2} \approx \frac{3{,}95}{1{,}60} \approx 2{,}47, \] то есть \(\langle a_ц\rangle \approx 2{,}5\) м/с².
3. Скорости (6). Угловая скорость — это угол \(2\pi\) за период: \[ \langle\omega\rangle = \frac{2\pi}{\langle T\rangle} = \frac{6{,}28}{1{,}264} \approx 4{,}97, \] то есть \(\langle\omega\rangle \approx 5{,}0\) рад/с.
Линейная скорость — длина окружности \(2\pi R\), делённая на период: \[ \langle\upsilon\rangle = \frac{2\pi R}{\langle T\rangle} = \langle\omega\rangle R \approx 5{,}0\cdot0{,}10 = 0{,}50, \] то есть \(\langle\upsilon\rangle \approx 0{,}50\) м/с.
4. Случайная погрешность (7). Считаем отклонение каждого измерения от среднего:
| \(i\) | \(t_i\), с | \(|t_i-\langle t\rangle|\), с |
|---|---|---|
| 1 | 12,92 | 0,28 |
| 2 | 12,06 | 0,58 |
| 3 | 12,51 | 0,13 |
| 4 | 12,92 | 0,28 |
| 5 | 12,44 | 0,20 |
Наибольшее отклонение — 0,58 с (второй опыт), это и есть \(\Delta t_{случ\,max}\). Смысл величины: насколько результаты могут «разъезжаться» из-за случайных причин.
5. Абсолютная погрешность (9). \[ \Delta t = \Delta t_{случ\,max} + \Delta t_{сист} = 0{,}58 + 0{,}01 = 0{,}59\ \text{с}. \] Здесь \(0{,}01\) с — приборная погрешность секундомера.
6. Относительная погрешность (10). \[ \varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t\rangle}\cdot100\% = \frac{0{,}59}{12{,}64}\cdot100\% \approx 4{,}7\%. \]
7. Запись результата (11). \[ t = (12{,}64 \pm 0{,}59)\ \text{с}. \] Обычно погрешность округляют до одной значащей цифры, а среднее — до того же разряда: \[ t = (12{,}6 \pm 0{,}6)\ \text{с},\qquad \varepsilon_t \approx 4{,}7\%. \]
Проверка. \[ a = \frac{\upsilon^2}{R} = \frac{0{,}497^2}{0{,}10} \approx 2{,}5\ \text{м/с}^2, \] \[ a = \omega\upsilon \approx 4{,}97\cdot0{,}497 \approx 2{,}5\ \text{м/с}^2. \] Обе проверки дают одно и то же — расчёт согласован.
Проверьте среднее время. Если в таблице стоят \(12{,}92;\ 12{,}06;\ 12{,}51;\ 12{,}92;\ 12{,}44\), то их сумма \(62{,}85\) с, и \(\langle t\rangle = 12{,}57\) с, а не \(12{,}64\) с. Тогда ответы немного другие: \(\langle T\rangle = 1{,}257\) с; \(a \approx 2{,}50\) м/с²; \(\omega \approx 5{,}00\) рад/с; \(\upsilon \approx 0{,}50\) м/с; \(\Delta t_{случ\,max} = 0{,}51\) с; \(\Delta t = 0{,}52\) с; \(\varepsilon_t \approx 4{,}1\%\); \(t = (12{,}57 \pm 0{,}52)\) с.
