236. Найдите корни уравнения:

На фото несколько заданий. Я разобрал № 236 (пункты а, б, в). Если нужен верхний пример, напиши.

Краткий ответ: а) \(-1; 7\); б) \(2; \frac{26}{3}\); в) \(4\).

Как решать такие уравнения. Дробно-рациональное уравнение сводим к целому: раскладываем знаменатели, записываем ОДЗ, умножаем обе части на общий знаменатель и решаем многочлен. Корни, при которых знаменатель обращается в нуль, отбрасываем.

а) \[ \frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{x^2+2x-3}. \] Так как \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\), ОДЗ: \(x\ne1,\ x\ne-3\). После умножения на \((x-1)(x+3)\): \[ (3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4. \] Раскрываем скобки: \[ 3x^2+7x-6-(2x^2+x-3)=12x+4, \] \[ x^2+6x-3=12x+4, \] \[ x^2-6x-7=0. \] Корни: \(x=-1\) и \(x=7\). Оба допустимы.

б) \[ \frac{5x-1}{x+7}-\frac{2x+2}{x-3}+\frac{63}{x^2+4x-21}=0. \] Здесь \(x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\), ОДЗ: \(x\ne-7,\ x\ne3\). Умножаем: \[ (5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0. \] Получаем: \[ 5x^2-16x+3-(2x^2+16x+14)+63=0, \] \[ 3x^2-32x+52=0. \] Дискриминант \(D=400\), поэтому \[ x_{1,2}=\frac{32\pm20}{6}. \] То есть \(x=2\) или \(x=\frac{26}{3}\). Оба корня подходят.

в) \[ \frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}. \] Раскладываем: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), а \(x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2)\). ОДЗ: \(x\ne2,\ x\ne-2\). После умножения на \((x+2)^2(x-2)\): \[ x(x-2)=4(x+2)-16. \] То есть \[ x^2-2x=4x+8-16, \] \[ x^2-6x+8=0. \] Корни: \(x=2\) и \(x=4\). Но \(x=2\) не входит в ОДЗ, поэтому остаётся только \(x=4\).

Проверка. Для пункта в) при \(x=4\): \[ \frac{4}{36}=\frac{1}{9},\qquad \frac{4}{12}-\frac{16}{72}=\frac{1}{3}-\frac{2}{9}=\frac{1}{9}. \] Левая и правая части равны. В пунктах а) и б) корни также не попадают в запрещённые значения, подстановка подтверждает.