236. Найдите корни уравнения: а) (3x−2)/(x−1)−(2x+3)/(x+3)=(12x+4)/(x²+2x−3);

Краткий ответ (№ 236):
а) \(-1;\ 7\);
б) \(2;\ \frac{26}{3}\);
в) \(4\).

Общий принцип. Дробно-рациональное уравнение решают так:

1. Разложить знаменатели на множители и записать ОДЗ.
2. Привести все дроби к общему знаменателю.
3. Приравнять числитель к нулю.
4. Решить полученное уравнение.
5. Убрать корни, которые запрещены ОДЗ.

а) \(\frac{3x-2}{x-1}-\frac{2x+3}{x+3}=\frac{12x+4}{x^2+2x-3}\)

Так как \[ x^2+2x-3=(x-1)(x+3), \] то ОДЗ: \[ x\ne 1,\qquad x\ne -3. \]

После приведения к общему знаменателю: \[ (3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4. \] Раскрываем скобки: \[ x^2+6x-3=12x+4, \] \[ x^2-6x-7=0, \] \[ (x-7)(x+1)=0. \] Корни: \[ x=7,\qquad x=-1. \] Оба не запрещены ОДЗ.

Ответ: \(-1;\ 7\).

б) \(\frac{5x-1}{x+7}-\frac{2x+2}{x-3}+\frac{63}{x^2+4x-21}=0\)

Так как \[ x^2+4x-21=(x+7)(x-3), \] то ОДЗ: \[ x\ne -7,\qquad x\ne 3. \]

Приводим к общему знаменателю: \[ (5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0. \] Раскрываем скобки: \[ 5x^2-16x+3-(2x^2+16x+14)+63=0, \] \[ 3x^2-32x+52=0. \] Дискриминант: \[ D=(-32)^2-4\cdot 3\cdot 52=1024-624=400. \] Тогда \[ x_{1,2}=\frac{32\pm 20}{6}. \] Получаем: \[ x_1=2,\qquad x_2=\frac{52}{6}=\frac{26}{3}. \] Оба корня допустимы.

Ответ: \(2;\ \frac{26}{3}\).

в) \(\frac{x}{x^2+4x+4}=\frac{4}{x^2-4}-\frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\)

Разложим знаменатели: \[ x^2+4x+4=(x+2)^2, \] \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \] \[ x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2). \]

ОДЗ: \[ x\ne -2,\qquad x\ne 2. \]

Умножим обе части на \((x+2)^2(x-2)\): \[ x(x-2)=4(x+2)-16. \] Раскрываем скобки: \[ x^2-2x=4x+8-16, \] \[ x^2-6x+8=0, \] \[ (x-2)(x-4)=0. \] Корни: \[ x=2,\qquad x=4. \] Но \(x=2\) запрещён ОДЗ, поэтому остаётся только \(x=4\).

Проверка при \(x=4\): \[ \frac{4}{36}=\frac19,\qquad \frac{4}{12}-\frac{16}{72}=\frac13-\frac29=\frac19. \]

Ответ: \(4\).