Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Кратко: да, \(BMDK\) — параллелограмм. Достаточно доказать, что противоположные стороны \(BK\) и \(DM\) равны и параллельны.

Доказательство

1. В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны равны и параллельны: \[ AB=CD,\qquad AB\parallel CD. \]

2. Так как \(\angle A\) острый, основания перпендикуляров \(K\) и \(M\) лежат на отрезке \(AC\). Поэтому \[ \angle BAK=\angle BAC,\qquad \angle DCM=\angle DCA. \] Но \(\angle BAC=\angle DCA\) как накрест лежащие при \(AB\parallel CD\) и секущей \(AC\). Значит, \[ \angle BAK=\angle DCM. \]

3. Треугольники \(ABK\) и \(CDM\) прямоугольные: \[ \angle AKB=\angle CMD=90^\circ. \] Они равны по гипотенузе и острому углу: \[ AB=CD,\qquad \angle BAK=\angle DCM. \] Следовательно, соответствующие катеты равны: \[ BK=DM. \]

4. По условию \[ BK\perp AC,\qquad DM\perp AC, \] поэтому \[ BK\parallel DM. \]

5. В четырёхугольнике \(BMDK\) стороны \(BK\) и \(DM\) противоположны, равны и параллельны. По признаку параллелограмма:

   если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Значит, \(BMDK\) — параллелограмм.

Проверка и роль условий

• Вторая пара сторон \(BM\) и \(DK\) тогда автоматически тоже параллельна и равна — это и есть свойство параллелограмма.
• \(AB\ne BC\) нужно, чтобы точки \(K\) и \(M\) не совпали. Если \(AB=BC\), то \(ABCD\) — ромб, его диагонали перпендикулярны, и оба перпендикуляра падают в точку пересечения диагоналей.
• \(\angle A\) острый гарантирует, что \(K\) и \(M\) лежат на отрезке \(AC\), а не на продолжениях, поэтому углы при \(A\) и \(C\) в прямоугольных треугольниках — это именно \(\angle BAC\) и \(\angle DCA\).