Решить

Коротко (для действительных корней):

• а) \(ax^{2}+x-6=0\):
  один корень при \(a=0\) или \(a=-\frac{1}{24}\);
  два корня при \(a>-\frac{1}{24}\), но \(a\ne0\).

• б) \(x^{2}+x-a=0\):
  один корень при \(a=-\frac14\);
  два корня при \(a>-\frac14\).

Как рассуждать

Для квадратного уравнения \(Ax^{2}+Bx+C=0\) число действительных корней определяется дискриминантом:

\[ D=B^{2}-4AC. \]

Если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет.

Но сначала надо проверить, не равен ли нулю старший коэффициент \(A\): тогда уравнение может стать линейным.

а) \(ax^{2}+x-6=0\)

Если \(a=0\), уравнение становится линейным:

\[ x-6=0,\qquad x=6. \]

Значит, при \(a=0\) ровно один корень.

Если \(a\ne0\), то

\[ D=1^{2}-4\cdot a\cdot(-6)=1+24a. \]

Один корень:

\[ 1+24a=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{24}. \]

Два корня:

\[ 1+24a>0 \quad\Rightarrow\quad a>-\frac{1}{24}. \]

Но значение \(a=0\) уже даёт один корень, поэтому для двух корней нужно исключить \(a=0\):

\[ a>-\frac{1}{24},\quad a\ne0. \]

При \(a<-\frac{1}{24}\) действительных корней нет.

б) \(x^{2}+x-a=0\)

Здесь старший коэффициент равен \(1\), поэтому уравнение всегда квадратное.

\[ D=1^{2}-4\cdot1\cdot(-a)=1+4a. \]

Один корень:

\[ 1+4a=0 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac14. \]

Два корня:

\[ 1+4a>0 \quad\Rightarrow\quad a>-\frac14. \]

При \(a<-\frac14\) действительных корней нет.

Проверка

При \(a=-\frac{1}{24}\) в пункте а):

\[ -\frac{1}{24}x^{2}+x-6=0 \iff x^{2}-24x+144=0 \iff (x-12)^{2}=0, \]

то есть действительно один корень.

При \(a=-\frac14\) в пункте б):

\[ x^{2}+x+\frac14=0 \iff \left(x+\frac12\right)^{2}=0, \]

тоже один корень.

Если в пункте а) по смыслу задачи уравнение должно оставаться именно квадратным, то дополнительно требуют \(a\ne0\); тогда в ответе для одного корня остаётся только \(a=-\frac{1}{24}\).