На числовой прямой даны два отрезка: P = [20; 70] и Q = [35; 50]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение ((x∈P)∧¬(x∈Q)∧¬(x∈A)) ложно

Краткий ответ: \(50\).

Решение

Выражение \[ (x\in P)\land \neg(x\in Q)\land \neg(x\in A) \] должно быть ложно при любом \(x\). Значит, не существует такого \(x\), для которого одновременно \[ x\in P,\qquad x\notin Q,\qquad x\notin A. \] Иначе говоря, если \(x\in P\) и \(x\notin Q\), то обязательно \(x\in A\). Поэтому \[ P\setminus Q\subseteq A. \]

Найдём разность множеств: \[ P=[20;70],\qquad Q=[35;50], \] \[ P\setminus Q=[20;35)\cup(50;70]. \]

В частности, точки \(20\) и \(70\) обязаны принадлежать отрезку \(A\). Отрезок, содержащий обе эти точки, имеет длину не меньше \[ 70-20=50. \]

Отрезок \(A=[20;70]\) подходит: он содержит всё множество \(P\setminus Q\), поэтому выражение ложно при всех \(x\).

Проверка. Если \(A\) короче \(50\), он не сможет содержать одновременно точки \(20\) и \(70\). Тогда при \(x=20\) или \(x=70\) выражение станет истинным, что недопустимо. Значит, длина \(50\) — минимальная.