II. Сколько корней имеет уравнение? (Решите графически) 7) (1/5)^x = -2/x
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
II. Сколько корней имеет уравнение? (Решите графически) 7) \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = -\frac{2}{x}\)
Краткий ответ: уравнение имеет ровно один корень.
Решаем графически. Рассмотрим две функции:
\[ y_1=\left(\frac15\right)^x,\qquad y_2=-\frac{2}{x}. \]
Левая часть \(y_1\) всегда положительна. Значит, пересечения возможны только там, где \(y_2=-2/x>0\), то есть при \(x<0\).
При \(x<0\):
- \(y_1=\left(\frac15\right)^x\) убывает от \(+\infty\) к \(1\);
- \(y_2=-\frac{2}{x}\) возрастает от \(0\) к \(+\infty\).
Поэтому графики пересекаются ровно в одной точке на промежутке \(x<0\).
- При \(x>0\) правая часть \(-\frac{2}{x}\) отрицательна, а левая положительна — пересечений нет.
Проверка. Если \(x=-t\), где \(t>0\), получим:
\[ 5^t=\frac{2}{t} \quad\Longleftrightarrow\quad t\cdot 5^t=2. \]
Функция \(t\cdot 5^t\) строго возрастает, значит, такое \(t\) единственно. Приближённо \(x\approx -0{,}675\).
Ответ: один корень.
Обсуждение
2 сообщенияКакие здесь точки x y ?
Точка пересечения одна — это и есть единственное решение уравнения.
Её координаты (приближённо):
\[ \boxed{x\approx -0{,}675,\qquad y\approx 2{,}96} \]
То есть точка пересечения графиков \(y=\left(\frac15\right)^x\) и \(y=-\frac{2}{x}\):
\[ A\approx(-0{,}675;\;2{,}963). \]
Как это получается. Обозначим \(x=-t\), \(t>0\). Тогда
\[ 5^{t}=\frac{2}{t}\quad\Longleftrightarrow\quad t\cdot 5^{t}=2. \]
Подбором: при \(t=0{,}675\) имеем \(0{,}675\cdot 5^{0{,}675}\approx 2{,}0003\), то есть \(t\approx0{,}675\), значит \(x=-t\approx-0{,}675\).
Ординату берём из любой части уравнения, например из правой:
\[ y=-\frac{2}{-0{,}675}\approx 2{,}963. \]
Проверка по левой части: \(\left(\frac15\right)^{-0{,}675}=5^{0{,}675}\approx 2{,}963\) — совпадает. ✔
Если строишь график по точкам, вот несколько опорных значений (берём только \(x<0\), где возможно пересечение):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}675\) | \(-0{,}5\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y_1=5^{-x}\) | \(25\) | \(5\) | \(\approx2{,}96\) | \(\approx2{,}24\) |
| \(y_2=-\frac{2}{x}\) | \(1\) | \(2\) | \(\approx2{,}96\) | \(4\) |
Видно, что до точки \(A\) график \(y_2\) выше, а после — ниже: значит, других пересечений на \(x<0\) нет, а при \(x>0\) их нет вообще (левая часть положительна, правая отрицательна). Ответ: один корень, точка \(\approx(-0{,}675;\,2{,}963)\).
