3) 4x⁴ − 37x² + 9 = 0; 4) 9x⁴ − 32x² − 16 = 0

Краткий ответ:

3. \(x=\pm 3,\ \pm \dfrac{1}{2}\);

4. \(x=\pm 2\).

Как решать. Это биквадратные уравнения. Делаем замену \(t=x^2\), причём \(t\ge 0\), потому что квадрат числа неотрицателен.

3) \[ 4x^4-37x^2+9=0 \] Пусть \(t=x^2\): \[ 4t^2-37t+9=0 \] \[ D=(-37)^2-4\cdot4\cdot9=1369-144=1225=35^2 \] \[ t_{1,2}=\frac{37\pm35}{8} \] Значит, \[ t_1=9,\qquad t_2=\frac14. \] Оба значения неотрицательны, поэтому возвращаемся к \(x\): \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3, \] \[ x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm\frac12. \]

4) \[ 9x^4-32x^2-16=0 \] Снова \(t=x^2\): \[ 9t^2-32t-16=0 \] \[ D=(-32)^2-4\cdot9\cdot(-16)=1024+576=1600=40^2 \] \[ t_{1,2}=\frac{32\pm40}{18} \] Получаем \[ t_1=4,\qquad t_2=-\frac49. \] Корень \(t=-\frac49\) не подходит, так как \(t=x^2\ge0\). Остаётся: \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]

Проверка: например, для уравнения 3) при \(x=3\): \[ 4\cdot81-37\cdot9+9=324-333+9=0. \] Для уравнения 4) при \(x=2\): \[ 9\cdot16-32\cdot4-16=144-128-16=0. \]