Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A логическое выражение

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A логическое выражение $ (\mathrm{ДЕЛ}(x, 40) \land \neg \mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to \neg \mathrm{ДЕЛ}(x, 64)) $ тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

В ответе запишите найденное число A.

Answer

Ответ: $A=320$.

Как рассуждать

1. $\mathrm{ДЕЛ}(x,m)$ означает, что $x$ кратно $m$. Тогда выражение имеет вид
$$
(40\mid x \ \land \ A\nmid x)\to 64\nmid x.
$$

2. Импликация $P\to Q$ ложна только тогда, когда $P$ истинно, а $Q$ ложно. Значит, «плохой» $x$ должен одновременно удовлетворять условиям:
$$
40\mid x,\qquad A\nmid x,\qquad 64\mid x.
$$

3. Числа, кратные одновременно $40$ и $64$, — это числа, кратные их НОК:
$$
\operatorname{НОК}(40,64)=320.
$$
Чтобы «плохих» $x$ не было, любое число, кратное $320$, должно делиться на $A$. В частности, само $320$ должно делиться на $A$. Значит, $A$ — делитель $320$.

4. Наибольший натуральный делитель числа $320$ — это само число $320$.

Проверка: при $A=320$ если $x$ кратно $320$, то множитель $\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$ ложен, и импликация истинна. Если $x$ не кратно $320$, оно не может быть кратно одновременно $40$ и $64$, поэтому посылка не выполняется или верно $64\nmid x$. Всё сходится.