Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A логическое выражение

Краткий ответ: \(A=24\).

Как рассуждать

1. Выражение имеет вид \[ P\to(Q\to R), \] где:

• \(P\): \(x\) делится на \(A\);
• \(Q\): \(x\) делится на \(50\);
• \(R\): \(x\) делится на \(120\).

Импликация \(P\to(Q\to R)\) ложна только тогда, когда \(P\) и \(Q\) истинны, а \(R\) ложно. Значит, не должно существовать такого \(x\), который делится на \(A\) и на \(50\), но не делится на \(120\).

2. То есть любое общее кратное чисел \(A\) и \(50\) должно делиться на \(120\). Достаточно проверить их наименьшее общее кратное: \[ 120 \mid \mathrm{НОК}(A,50). \]

Если это не выполнялось бы, можно было бы взять \(x=\mathrm{НОК}(A,50)\): он делится на \(A\) и на \(50\), но не на \(120\), и выражение стало бы ложным.

3. Разложим числа: \[ 50=2\cdot5^2,\qquad 120=2^3\cdot3\cdot5. \] В числе \(50\) уже есть нужная пятёрка, но не хватает:

• \(2^3=8\);
• множителя \(3\).

Значит, \(A\) должно делиться на \(8\) и на \(3\). Наименьшее такое число: \[ A=8\cdot3=24. \]

Проверка: \[ \mathrm{НОК}(24,50)=600=5\cdot120. \] Поэтому если \(x\) делится на \(24\) и на \(50\), то он делится на \(600\), а значит, и на \(120\). Выражение истинно при всех натуральных \(x\).

Ответ: 24.