BF=12, DF=9, AB=8, Найти CD — ?

Ответ: \(CD = 6\).

Ключевая идея. Хорды \(AB\) и \(DC\) параллельны, поэтому вписанная трапеция \(ABCD\) равнобедренная: \(AD = BC\). А прямые \(AD\) и \(BC\) при продолжении дают пару подобных треугольников с вершиной \(F\).

Шаги решения

1. Обозначим \(AD = BC = x\). Точка \(D\) лежит между \(F\) и \(A\), точка \(C\) — между \(F\) и \(B\), поэтому \[ FA = FD + DA = 9 + x, \qquad FC = FB - BC = 12 - x. \]

2. Треугольники \(FDC\) и \(FAB\) подобны: угол \(F\) общий, а \(\angle FDC = \angle FAB\) как соответственные при \(DC \parallel AB\). Значит, \[ \frac{FD}{FA} = \frac{FC}{FB}. \] Подставляем: \[ \frac{9}{9+x} = \frac{12-x}{12}. \]

3. Решаем уравнение: \[ 108 = (9+x)(12-x) = 108 + 3x - x^2, \] \[ x^2 - 3x = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \quad (x = 0 \text{ не подходит}). \] То есть \(AD = BC = 3\), \(FA = 12\), \(FC = 9\).

4. Коэффициент подобия: \[ k = \frac{FD}{FA} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}, \] \[ CD = k \cdot AB = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6. \]

Проверка по теореме о секущих из точки \(F\): \[ FD \cdot FA = 9 \cdot 12 = 108, \qquad FC \cdot FB = 9 \cdot 12 = 108. \] Совпадает, значит \(CD = 6\) найдено верно.

Принцип для похожих задач: параллельные хорды дают равнобедренную трапецию (равные боковые стороны), а продолжения боковых сторон — подобные треугольники. Составляем пропорцию сторон, находим боковую сторону, затем по коэффициенту подобия — нужную хорду.