Синус острого угла A треугольника ABC равен √21/5. Найдите cosA.

Ответы:

1. \(\dfrac{2}{5}\)
2. \(\dfrac{1}{10}\)
3. \(\dfrac{4}{5}\)
4. \(\dfrac{3}{10}\)
5. \(\dfrac{3}{5}\)
6. \(\dfrac{1}{8}\)

Как решать. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 A+\cos^2 A=1. \] Угол \(A\) острый, поэтому и синус, и косинус положительны — при извлечении корня берём знак «+».

1. \(\sin A=\dfrac{\sqrt{21}}{5}\): \[ \cos^2 A=1-\frac{21}{25}=\frac{4}{25},\qquad \cos A=\frac{2}{5}. \]

2. \(\sin A=\dfrac{3\sqrt{11}}{10}\): \[ \cos^2 A=1-\frac{99}{100}=\frac{1}{100},\qquad \cos A=\frac{1}{10}. \]

3. \(\sin A=\dfrac{3}{5}\): \[ \cos^2 A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},\qquad \cos A=\frac{4}{5}. \]

4. \(\cos A=\dfrac{\sqrt{91}}{10}\): \[ \sin^2 A=1-\frac{91}{100}=\frac{9}{100},\qquad \sin A=\frac{3}{10}. \]

5. \(\cos A=\dfrac{4}{5}\): \[ \sin^2 A=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25},\qquad \sin A=\frac{3}{5}. \]

6. \(\cos A=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}\): \[ \sin^2 A=1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64},\qquad \sin A=\frac{1}{8}. \]

Проверка: например, для первого пункта \[ \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2 =\frac{21}{25}+\frac{4}{25}=1. \] Для остальных пунктов сумма квадратов синуса и косинуса также равна \(1\).