Для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение (3x + 5y ≠ 600) ∨ (A ≥ x) ∧ (A ≥ y) истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых положительных x и y?

Ответ: \(A=195\).

Полностью видимое задание — № 51244. По обычному приоритету \(\land\) сильнее \(\lor\), поэтому выражение имеет вид \[ (3x+5y\ne600)\lor\bigl((A\ge x)\land(A\ge y)\bigr). \]

1. Если \(3x+5y\ne600\), первая часть истинна, и всё выражение уже истинно. Проверять нужно только пары, где \[ 3x+5y=600. \] Для них первая часть ложна, поэтому обязательно должно выполняться \[ A\ge x \quad\text{и}\quad A\ge y. \] То есть \(A\) должно быть не меньше обеих координат \(x\) и \(y\).

2. Решим уравнение в целых положительных числах: \[ 3x+5y=600. \] По модулю 5: \[ 3x\equiv0\pmod5 \Rightarrow x\equiv0\pmod5, \] значит, \(x=5k\). Тогда \[ 15k+5y=600 \Rightarrow y=120-3k. \] Положительность \(y\) даёт \(k=1,2,\ldots,39\).

3. При \(k=39\): \[ x=5\cdot39=195,\qquad y=120-3\cdot39=3. \] Значит, \(A\) не может быть меньше \(195\).

При \(A=195\) для любого решения \(x\le195\), а \(y\le117\). Поэтому оба неравенства \(A\ge x\), \(A\ge y\) выполняются. Если же \(3x+5y\ne600\), выражение истинно из-за первого условия.

Проверка минимальности: при \(A=194\) пара \(x=195,\ y=3\) даёт \(3x+5y=600\), но \(A\ge x\) ложно, поэтому всё выражение ложно.

Ответ: 195.