331

Номер 321 я нашёл, но само условие в этом фото не читается — видны только номера, а текст заданий размыт. Пришлите, пожалуйста, более чёткое фото именно № 321 (или наберите условие текстом) — и я сразу разберу его по шагам.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) (высота, она же образующая) и \(2R\) (диаметр основания). Его диагональ \(d=48\) см.

Краткий ответ

а) \(h=24\) см
б) \(R=12\sqrt{3}\) см
в) \(S_{\text{осн}}=432\pi\ \text{см}^2\)

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, образующей \(h\) и диаметром \(2R\).

Угол между диагональю и образующей равен \(60^\circ\). Тогда:

\[ \cos 60^\circ=\frac{h}{d} \]

\[ h=d\cos 60^\circ=48\cdot \frac12=24\ \text{см} \]

Теперь найдём диаметр основания:

\[ \sin 60^\circ=\frac{2R}{d} \]

\[ 2R=48\sin 60^\circ=48\cdot \frac{\sqrt3}{2}=24\sqrt3 \]

\[ R=12\sqrt3\ \text{см} \]

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi(12\sqrt3)^2=432\pi\ \text{см}^2 \]

Ответ:
а) \(24\) см; б) \(12\sqrt3\) см; в) \(432\pi\ \text{см}^2\).

Вот схема осевого сечения цилиндра:

        A ●──────────────────────────● B
          │╲                         │
          │  ╲                       │
          │    ╲                     │
       h  │      ╲   диагональ       │  h
          │        ╲   d = 48        │
          │    60°   ╲               │
          │            ╲             │
        D ●──────────────╲───────────● C
                 2R = 24√3

На чертеже:

• \(ABCD\) — осевое сечение цилиндра, прямоугольник;
• \(AD=BC=h\) — высота цилиндра, она же образующая;
• \(AB=DC=2R\) — диаметр основания;
• \(AC=d=48\) см — диагональ осевого сечения;
• \(\angle DAC=60^\circ\) — угол между диагональю и образующей.

Из прямоугольного треугольника \(ADC\):

\[ h=AD=AC\cos60^\circ=48\cdot\frac12=24\ \text{см} \]

\[ 2R=DC=AC\sin60^\circ=48\cdot\frac{\sqrt3}{2}=24\sqrt3 \]

\[ R=12\sqrt3\ \text{см} \]

\[ S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi(12\sqrt3)^2=432\pi\ \text{см}^2 \]

Ответ:
а) \(24\) см; б) \(12\sqrt3\) см; в) \(432\pi\ \text{см}^2\).