На некотором участке газопровода трубы длиной 4 м заменили на трубы длиной 5 м. Сколько нужно новых труб для замены 100 старых?

Это продолжение той же задачи — оформляю обе по-школьному: условие, решение, ответ.

Задача 1

Условие:

• Было: 100 труб по 4 м;
• Заменили: ? труб по 5 м;
• Длина участка газопровода не изменилась.

Решение:

1. \(100\cdot 4=400\) (м) — длина участка;
2. \(400:5=80\) (труб).

Ответ: 80 новых труб.

Задача 2

Условие:

• 3 кг краски — 250 руб.;
• 9 кг краски — ? руб.;
• Цена за 1 кг одинаковая.

Решение:

1. \(9:3=3\) (раза) — во столько раз больше краски нужно купить;
2. \(250\cdot 3=750\) (руб.).

Ответ: 750 рублей.

Почему так: в первой задаче постоянна длина участка, поэтому во сколько раз длиннее труба, во столько раз меньше труб нужно. Во второй постоянна цена за килограмм, поэтому во сколько раз больше масса, во столько раз больше стоимость.

Оформляю обе задачи через пропорцию.

Задача 1

Условие:

• 100 труб — по 4 м каждая;
• \(x\) труб — по 5 м каждая;
• длина газопровода не меняется.

Решение. Это обратная пропорциональность: чем длиннее труба, тем меньше труб понадобится.

\[ \frac{100}{x}=\frac{5}{4} \]

По основному свойству пропорции:

\[ x=\frac{100\cdot 4}{5}=\frac{400}{5}=80 \]

Проверка: \(80\cdot 5=400\) м \(=100\cdot 4\) м — длина та же.

Ответ: 80 новых труб.

Задача 2

Условие:

• 3 кг краски — 250 руб.;
• 9 кг краски — \(x\) руб.;
• цена за 1 кг одинаковая.

Решение. Это прямая пропорциональность: во сколько раз больше масса, во столько раз больше стоимость.

\[ \frac{3}{250}=\frac{9}{x} \]

По основному свойству пропорции:

\[ x=\frac{250\cdot 9}{3}=\frac{2250}{3}=750 \]

Проверка: \(750:9=250:3\) — цена за килограмм одинаковая.

Ответ: 750 рублей.

Как различать: если при увеличении одной величины вторая тоже растёт — прямая пропорциональность, отношения записываем «одинаково» \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Если вторая уменьшается — обратная, и одно из отношений переворачиваем \(\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\).

Решение задачи № 95 по рисунку 53.

Дано:

• \(BC = AD\)
• \(\angle 1 = \angle 2\)
• \(AD = 17\) см, \(DC = 14\) см

а) Доказательство равенства треугольников

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\):

1. \(BC = AD\) — по условию;
2. \(\angle BCA = \angle CAD\) — так как по условию \(\angle 1 = \angle 2\);
3. \(AC = CA\) — общая сторона.

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

б) Нахождение \(AB\) и \(BC\)

Так как треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны, то их соответственные элементы тоже равны:

• \(BC = AD\) (это уже дано, но подтверждается равенством);
• \(AB = CD\).

Из условия \(BC = AD\) и \(AD = 17\) см получаем: \[ BC = 17 \text{ см} \]

Из равенства \(AB = CD\) и \(DC = 14\) см получаем: \[ AB = 14 \text{ см} \]

Ответ: \(AB = 14\) см, \(BC = 17\) см.

Принцип: чтобы найти неизвестную сторону, нужно найти треугольник, в котором она лежит, и доказать его равенство с другим треугольником. Тогда соответственные стороны и углы автоматически станут равными.