что такое высота биссектриса

Краткий ответ

Высота треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону (или её продолжение). То есть высота всегда образует со стороной угол \(90^\circ\).

Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Биссектриса треугольника — отрезок этой биссектрисы от вершины до противоположной стороны.

Как их различать

В любом треугольнике есть три высоты и три биссектрисы (и три медианы).

Ключевые свойства

Высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре:

• в остроугольном треугольнике — внутри;
• в прямоугольном — это вершина прямого угла;
• в тупоугольном — вне треугольника.

Биссектрисы пересекаются в одной точке — она является центром вписанной окружности и равноудалена от всех сторон треугольника.

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла — это удобно использовать в задачах на доказательство.

Проверка на примере

Пусть в треугольнике \(ABC\) из вершины \(A\) проведена высота \(AH\). Тогда \(\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ\) — это и есть проверка, что перед нами высота.

Если же из вершины \(A\) проведена биссектриса \(AL\), то \(\angle BAL = \angle LAC = \frac{1}{2}\angle A\). Например, при \(\angle A = 60^\circ\) получаем по \(30^\circ\).

Важное уточнение

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является и медианой, и высотой. Но в произвольном треугольнике эти три линии — разные, путать их нельзя.