Выполните 19.1-19.7
Сверь числа и знаки с фото.
19.2. 1) \(\log_5(4x+1)<1\); 2) \(\log_{1/5}(3-2x)>-1\); 3) \(\log_{0{,}2}(x+0{,}6)<1\); 4) \(\log_{0{,}4}(7-x)>-1\). 19.3. 1) \(\log_5(3x+2)>\log_5(x-1)\); 2) \(\log_{0{,}8}(6x-2)>\log_{0{,}8}(x+5)\); 3) \(\lg(2x-1)<\lg(3x+2)\); 4) \(\ln(4-2x)<\ln(x+3)\). 19.4. 1) \(\log_{0{,}1}(2x-5)>\log_{0{,}1}(x+1)\); 2) \(\log_{1/3}(3x-1)<\log_{1/3}(2x+3)\); 3) \(\log_{0{,}5}\frac{2-3x}{x}>-1\); 4) \(\log_{1/5}(3x-4)<\log_{1/5}(x-2)\). 19.5. 1) \(\log_{1/3}(x+4)>\log_{1/3}(x^2+2x-2)\); 2) \(1+\log_3(x-2)>\log_3(x^2-3x+2)\); 3) \(\lg(x-2)+\lg(27-x)<2\); 4) \(\lg(2x-3)>\lg(x+1)\). Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер (19.6-19.7): 19.6. 1) \(\begin{cases}x-18<0,\\ \log_{1/3}x>1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\log_{1/3}x<-2,\\ x+1>3;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\ln x\ge 0,\\ 5-x<0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\lg x<1,\\ x+7>0.\end{cases}\) 19.7. 1) \(\begin{cases}x+3>0,\\ \log_{1/3}x>-1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}8-x>0,\\ \log_{1/3}x<2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\log_{0{,}5}x<1,\\ x-0{,}3>0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}9-x<0,\\ \log_{1/3}x>-1.\end{cases}\)
Теңсіздіктерді шешіңдер (19.1—19.5): 19.1. 1) \(\log_4 x>2\); 2) \(\log_{1/3}x<-3\); 3) \(\lg x>-2\); 4) \(\ln x<1\).
Кратко: все ответы ниже. Для логарифмов я сначала учитывал ОДЗ, а затем применял монотонность.
| № | 1) | 2) | 3) | 4) |
|---|---|---|---|---|
| 19.1 | \((16;+\infty)\) | \((27;+\infty)\) | \((0{,}01;+\infty)\) | \((0;e)\) |
| 19.2 | \(\left(-\frac14;1\right)\) | \(\left(-1;\frac32\right)\) | \(\left(-\frac25;+\infty\right)\) | \(\left(\frac92;7\right)\) |
| 19.3 | \((1;+\infty)\) | \(\left(\frac13;\frac75\right)\) | \(\left(\frac12;+\infty\right)\) | \(\left(\frac13;2\right)\) |
| 19.4 | \(\left(\frac52;6\right)\) | \((4;+\infty)\) | \(\left(\frac25;\frac23\right)\) | \((2;+\infty)\) |
| 19.5 | \((-4;-3)\cup(2;+\infty)\) | \((2;4)\) | \((2;7)\cup(22;27)\) | \((4;+\infty)\) |
| 19.6 | \(\left(0;\frac13\right)\) | \((9;+\infty)\) | \((5;+\infty)\) | \((0;10)\) |
| 19.7 | \((0;3)\) | \(\left(\frac19;8\right)\) | \(\left(\frac12;+\infty\right)\) | \(\varnothing\) |
\(\varnothing\) означает, что решений нет.
Как получаются такие промежутки
- Под знаком логарифма должно быть положительное число:
\[ f(x)>0. \] - Если \(a>1\), то \(\log_a f(x)>\log_a g(x)\) равносильно \(f(x)>g(x)\).
Если \(0<a<1\), знак неравенства между аргументами меняется на противоположный. - Число \(b\) удобно записывать как \(\log_a a^b\), например: \[ 1=\log_5 5,\qquad -1=\log_{0{,}5}2. \]
- В конце берём пересечение с ОДЗ.
Пример 1 — 19.2.1. \[ \log_5(4x+1)<1=\log_5 5. \] ОДЗ: \(4x+1>0 \Rightarrow x>-\frac14\). Основание \(5>1\), значит: \[ 4x+1<5 \Rightarrow x<1. \] Ответ: \(\left(-\frac14;1\right)\).
Пример 2 — 19.4.3. \[ \log_{0{,}5}\frac{2-3x}{x}>-1. \] ОДЗ дроби: \[ \frac{2-3x}{x}>0 \Rightarrow 0<x<\frac23. \] Так как \(0{,}5<1\), знак меняется: \[ \frac{2-3x}{x}<0{,}5^{-1}=2. \] При \(x>0\): \[ 2-3x<2x \Rightarrow x>\frac25. \] Пересечение с ОДЗ даёт \(\left(\frac25;\frac23\right)\).
Пример 3 — 19.5.3. \[ \lg(x-2)+\lg(27-x)<2. \] ОДЗ: \[ 2<x<27. \] Сумма логарифмов: \[ \lg\bigl((x-2)(27-x)\bigr)<\lg 100. \] Основание \(10>1\), поэтому \[ (x-2)(27-x)<100. \] После раскрытия скобок: \[ x^2-29x+154>0, \] \[ (x-7)(x-22)>0. \] Значит, \(x<7\) или \(x>22\). С учётом ОДЗ: \[ (2;7)\cup(22;27). \]
Проверка: в 19.5.3 при \(x=7\) и \(x=22\) получается ровно \(\lg100=2\), а неравенство строгое, поэтому концы не входят. В 19.2.1 при \(x=1\) тоже получается \(\log_5 5=1\), поэтому \(1\) не включается.
Обсуждение
8 сообщенийВыполните все задание полный ответ и только 1 решении
Понял: нужно по одному полному решению на каждый номер 19.1–19.7 — с ОДЗ, приведением к одному основанию, переходом и проверкой границ.
Одна проблема: самих неравенств в чате нет. В прошлом сообщении я выдал таблицу промежутков без условий задачи, поэтому сверить их с твоим учебником нельзя — они могут не совпасть. Выдумывать решения по номерам я не буду, иначе ты получишь неверные ответы.
Пришли фото или текст заданий — достаточно первых пунктов 19.1–19.7. Тогда по каждому дам полное решение в таком виде: ОДЗ → запись числа в виде логарифма → переход (со сменой знака, если основание меньше 1) → пересечение с ОДЗ → ответ.
И уточни в том же сообщении: «только 1 решение» — это первый пункт в каждом номере или в каждом номере одно неравенство?
Выполните
Без условий решить не смогу: в чате есть только номера 19.1–19.7 и ответы-промежутки, а самих неравенств нет. Если я придумаю их «по памяти», решения будут про другие примеры — это только запутает.
Что нужно: фото страницы с 19.1–19.7 или текст первых неравенств из каждого номера (например, «19.1: \(\log_2(3x-4)>4\)»).
Как только пришлёшь — по каждому номеру оформлю одно полное решение: ОДЗ → представление числа через логарифм → переход с учётом основания → пересечение с ОДЗ → ответ с проверкой границ.
Что прислать? Достаточно одной строки условия для каждого номера — остальные пункты разберу по аналогии, если попросишь.
Вот
Вот
Беру по одному решению на каждый номер — первые пункты.
Ответы
- 19.1.1: \(x\in(16;+\infty)\)
- 19.2.1: \(x\in\left(-\frac14;1\right)\)
- 19.3.1: \(x\in(1;+\infty)\)
- 19.4.1: \(x\in\left(\frac52;6\right)\)
- 19.5.1: \(x\in(-4;-3)\cup(2;+\infty)\)
- 19.6.1: \(x\in\left(0;\frac13\right)\)
- 19.7.1: \(x\in(0;3)\)
19.1.1
\[ \log_4 x>2 \]
ОДЗ:
\[ x>0. \]
Представим \(2\) как логарифм по основанию \(4\):
\[ 2=\log_4 16. \]
Основание \(4>1\), поэтому знак неравенства сохраняется:
\[ x>16. \]
С учётом \(x>0\):
\[ x\in(16;+\infty). \]
Ответ: \((16;+\infty)\).
19.2.1
\[ \log_5(4x+1)<1 \]
ОДЗ:
\[ 4x+1>0 \Rightarrow x>-\frac14. \]
Так как \(1=\log_5 5\), получаем:
\[ \log_5(4x+1)<\log_5 5. \]
Основание \(5>1\), значит:
\[ 4x+1<5, \]
\[ 4x<4, \]
\[ x<1. \]
Пересекаем с ОДЗ:
\[ -\frac14<x<1. \]
Ответ: \(\left(-\frac14;1\right)\).
19.3.1
\[ \log_3(3x+2)>\log_3(x-1) \]
ОДЗ:
\[ 3x+2>0, \qquad x-1>0. \]
То есть:
\[ x>-\frac23,\qquad x>1. \]
Значит, ОДЗ:
\[ x>1. \]
Основание \(3>1\), поэтому переходим к аргументам:
\[ 3x+2>x-1. \]
\[ 2x>-3, \]
\[ x>-\frac32. \]
Это условие автоматически выполняется при \(x>1\). Поэтому:
\[ x\in(1;+\infty). \]
Ответ: \((1;+\infty)\).
19.4.1
\[ \log_{0{,}6}(2x-5)>\log_{0{,}6}(x+1) \]
ОДЗ:
\[ 2x-5>0 \Rightarrow x>\frac52, \]
\[ x+1>0 \Rightarrow x>-1. \]
Значит:
\[ x>\frac52. \]
Основание \(0{,}6<1\), поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
\[ 2x-5<x+1. \]
\[ 2x-x<1+5, \]
\[ x<6. \]
С учётом ОДЗ:
\[ \frac52<x<6. \]
Ответ: \(\left(\frac52;6\right)\).
19.5.1
\[ \log_{\frac13}(x+4)>\log_{\frac13}(x^2+2x-2) \]
ОДЗ:
\[ x+4>0 \Rightarrow x>-4, \]
а также
\[ x^2+2x-2>0. \]
Основание \(\frac13<1\), поэтому знак неравенства меняется:
\[ x+4<x^2+2x-2. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ 0<x^2+2x-2-x-4, \]
\[ x^2+x-6>0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+3)(x-2)>0. \]
Отсюда:
\[ x<-3 \quad \text{или} \quad x>2. \]
Пересекаем с условием \(x>-4\):
\[ -4<x<-3 \quad \text{или} \quad x>2. \]
То есть:
\[ x\in(-4;-3)\cup(2;+\infty). \]
Внутри этих промежутков выражение \(x^2+2x-2\) положительно.
Ответ: \((-4;-3)\cup(2;+\infty)\).
19.6.1
\[ \begin{cases} x-18<0,\\ \log_{\frac13}x>1. \end{cases} \]
Для логарифма нужно:
\[ x>0. \]
Из первого неравенства:
\[ x<18. \]
Второе неравенство:
\[ \log_{\frac13}x>1. \]
Так как \(\frac13<1\), знак меняется:
\[ x<\left(\frac13\right)^1=\frac13. \]
Собираем условия:
\[ x>0,\qquad x<18,\qquad x<\frac13. \]
Самое сильное ограничение сверху — \(x<\frac13\). Поэтому:
\[ 0<x<\frac13. \]
Ответ: \(\left(0;\frac13\right)\).
19.7.1
\[ \begin{cases} x+3>0,\\ \log_{\frac13}x>-1. \end{cases} \]
ОДЗ логарифма:
\[ x>0. \]
Первое неравенство:
\[ x>-3. \]
Оно не сильнее условия \(x>0\).
Второе неравенство:
\[ \log_{\frac13}x>-1. \]
Поскольку \(\frac13<1\), знак меняется:
\[ x<\left(\frac13\right)^{-1}=3. \]
Получаем:
\[ x>0,\qquad x<3. \]
Ответ: \((0;3)\).
По фото. Ты просил по одному полному решению на каждый номер — ниже по одному решению для 19.1–19.7. В 19.2 и 19.3 взял четко читаемые пункты.
Краткие ответы
- 19.1: \((16;+\infty)\)
- 19.2: \(\left(-1;\frac32\right)\)
- 19.3: \(\left(\frac13;\frac75\right)\)
- 19.4: \(\left(\frac52;6\right)\)
- 19.5: \((-4;-3)\cup(2;+\infty)\)
- 19.6: \(\left(0;\frac13\right)\)
- 19.7: \((0;3)\)
Решения
19.1.1
\[ \log_4 x>2 \]
ОДЗ: \(x>0\).
Так как \(2=\log_4 16\), а основание \(4>1\):
\[
x>16.
\]
Ответ: \((16;+\infty)\).
19.2.2
\[ \log_{1/5}(3-2x)>-1 \]
ОДЗ: \[ 3-2x>0 \Rightarrow x<\frac32. \]
Запишем \(-1=\log_{1/5}5\). Основание \(1/5<1\), поэтому знак меняется: \[ 3-2x<5, \] \[ -2x<2, \] \[ x>-1. \]
Пересекаем с ОДЗ: \[ -1<x<\frac32. \]
Ответ: \(\left(-1;\frac32\right)\).
19.3.2
\[ \log_{0{,}6}(6x-2)>\log_{0{,}6}(x+5) \]
ОДЗ: \[ 6x-2>0 \Rightarrow x>\frac13. \] Условие \(x+5>0\) выполняется автоматически.
Основание \(0{,}6<1\), значит знак неравенства меняется: \[ 6x-2<x+5, \] \[ 5x<7, \] \[ x<\frac75. \]
Ответ: \(\left(\frac13;\frac75\right)\).
19.4.1
\[ \log_{0{,}5}(2x-5)>\log_{0{,}5}(x+1) \]
ОДЗ: \[ 2x-5>0 \Rightarrow x>\frac52. \]
Основание \(0{,}5<1\), поэтому: \[ 2x-5<x+1, \] \[ x<6. \]
Ответ: \(\left(\frac52;6\right)\).
19.5.1
\[ \log_{1/3}(x+4)>\log_{1/3}(x^2+2x-2) \]
ОДЗ: \[ x+4>0 \Rightarrow x>-4, \] \[ x^2+2x-2>0. \]
Основание \(1/3<1\), значит: \[ x+4<x^2+2x-2, \] \[ x^2+x-6>0, \] \[ (x+3)(x-2)>0. \] Отсюда: \[ x<-3 \quad \text{или} \quad x>2. \]
С учетом ОДЗ \(x>-4\) получаем: \[ (-4;-3)\cup(2;+\infty). \]
Ответ: \((-4;-3)\cup(2;+\infty)\).
19.6.1
\[ \begin{cases} x-18<0,\\ \log_{1/3}x>1. \end{cases} \]
Из первого неравенства: \[ x<18. \]
Во втором ОДЗ: \(x>0\). Так как основание \(1/3<1\): \[ x<\left(\frac13\right)^1=\frac13. \]
Пересечение: \[ 0<x<\frac13. \]
Ответ: \(\left(0;\frac13\right)\).
19.7.1
\[ \begin{cases} x+3>0,\\ \log_{1/3}x>-1. \end{cases} \]
Первое: \[ x>-3. \]
Во втором ОДЗ: \(x>0\), а из-за основания \(1/3<1\): \[ x<\left(\frac13\right)^{-1}=3. \]
Пересечение: \[ 0<x<3. \]
Ответ: \((0;3)\).
Если нужны остальные пункты из 19.2–19.5, напиши их номера — оформлю так же, по одному полному решению.
