Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Хорошо, покажу «черновик» — как я шёл к решению, с вопросами, которые задавал себе по ходу.

Шаг 1. Что вообще получается в сечении? Плоскость параллельна оси цилиндра. Значит, она вертикальна, как и ось. Пересекает она цилиндр по двум вертикальным отрезкам — на боковой поверхности. Сверху и снизу — по хордам в основаниях. Итого сечение — прямоугольник. Его высота равна высоте цилиндра, а ширина — длине хорды.

Шаг 2. Где «сидит» расстояние 3 см? Расстояние от оси до плоскости — это перпендикуляр. Ось проходит через центр основания \(O\). Опускаю перпендикуляр из \(O\) на плоскость — он попадёт в середину хорды \(AB\), потому что перпендикуляр из центра к хорде всегда делит её пополам. Назову эту точку \(M\). Получаю \(OM=3\).

Шаг 3. Как найти хорду? Смотрю на треугольник \(OAM\). Он прямоугольный: \(OM\perp AB\). Гипотенуза \(OA=5\) — радиус. Тогда:

\[ AM=\sqrt{5^2-3^2}=4. \]

А хорда вдвое больше половины:

\[ AB=2\cdot 4=8. \]

Логика простая: расстояние до плоскости даёт мне катет, радиус — гипотенузу, а хорда — это два таких катета.

Шаг 4. Площадь. \[ S=AB\cdot h=8\cdot 8=64. \]

Шаг 5. Зачем проверка \(3<5\)? Если бы расстояние от оси было больше радиуса, плоскость прошла бы мимо цилиндра и сечения не было бы. Здесь \(3<5\), значит, всё корректно, треугольник существует.

Именно поэтому в общем виде получается \(S=2h\sqrt{R^2-d^2}\): двойка — это две половинки хорды, корень — половина хорды, а \(h\) — высота.

Да, рисунок подходит — на нём как раз всё нужное: хорда в верхнем основании, ось (пунктир), радиус 5, расстояние 3 и высота 8. Разберу решение по твоим обозначениям.

Что есть на рисунке

• \(ABCD\) — сечение: \(BC\) — хорда верхнего основания, \(AD\) — хорда нижнего, \(AB\) и \(CD\) — образующие.
• \(O\) — центр верхнего основания, \(OB=OC=5\) — радиусы.
• Пунктир от \(O\) к хорде — это расстояние от оси до плоскости сечения, оно равно \(3\).
• \(AB=8\) — высота цилиндра.

Почему сечение — прямоугольник

Образующие \(AB\) и \(CD\) параллельны оси и перпендикулярны основаниям, значит, они перпендикулярны хордам \(BC\) и \(AD\). Поэтому \(ABCD\) — прямоугольник: две стороны равны хорде, две другие — высоте цилиндра.

Находим хорду

Пусть \(M\) — точка, где перпендикуляр из \(O\) встречает \(BC\). Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому \(BM=MC\), а \(OM=3\).

Треугольник \(OMB\) прямоугольный (\(\angle OMB=90^\circ\)), гипотенуза \(OB=5\), катет \(OM=3\):

\[ BM=\sqrt{OB^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4. \]

Тогда вся хорда:

\[ BC=2\cdot BM=8. \]

Считаем площадь

\[ S=BC\cdot AB=8\cdot 8=64\ \text{см}^2. \]

Проверка по рисунку: \(3<5\), то есть перпендикуляр действительно попадает на хорду, а не мимо круга — треугольник \(OMB\) существует.

Главная мысль: ширина прямоугольника сечения — это хорда, которую находит треугольник «радиус — расстояние — половина хорды», а высота прямоугольника берётся прямо с рисунка.

Понял, давай вообще без буквы \(M\) — она нужна только как «ярлык» для точки, а сама точка на рисунке уже есть.

Где эта точка

Посмотри на пунктир, который идёт от центра \(O\) вниз к хорде \(BC\). Вот место, где этот пунктир упирается в хорду, — это и есть та самая точка. Букву туда можно не ставить: важно только, что пунктир перпендикулярен хорде и его длина равна \(3\).

Решение без буквы

1. Сечение \(ABCD\) — прямоугольник: \(BC\) — хорда, \(AB=8\) — высота цилиндра.

2. Перпендикуляр из центра окружности к хорде всегда делит хорду пополам. Значит, пунктир длиной \(3\) попадает ровно в середину \(BC\).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза — радиус \(OB=5\), один катет — пунктир \(3\), второй катет — половина хорды. По теореме Пифагора:

\[ \text{половина } BC=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4. \]

4. Тогда вся хорда:

\[ BC=2\cdot 4=8. \]

5. Площадь сечения:

\[ S=BC\cdot AB=8\cdot 8=64\ \text{см}^2. \]

Если учитель всё же требует букву — поставь её в точку пересечения пунктира с хордой \(BC\) (это середина \(BC\)) и называй как угодно: \(M\), \(N\), \(K\). Смысл от буквы не меняется: это просто «середина хорды».