А-9 кл. КР «Квадратичная функция» В-2 1. Постройте график функции y = x² - 2x - 3, выполнив исследование.

Краткий ответ

1. \(y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\). Вершина — \((1;-4)\), нули — \(x=-1\) и \(x=3\), ветви вверх.
   а) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\);
   \(y<0\) при \(x\in(-1;3)\).
   б) Точки пересечения с прямой \(y=3x+47\): \((10;77)\) и \((-5;32)\).

2. а) \(x^2+13x+22=(x+2)(x+11)\);
   б) \(8y^2-5y-3=(y-1)(8y+3)\).

3. \(\dfrac{x^2+x-42}{x^2-36}=\dfrac{x+7}{x+6}\), где \(x\ne -6\), \(x\ne 6\).

4. Функция \(y=-x^2-6x-9\) принимает наибольшее значение \(0\) при \(x=-3\).

Как это получается

1. График и исследование

Выделим полный квадрат: \[ y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-4=(x-1)^2-4. \] Значит, вершина параболы — \((1;-4)\), ветви направлены вверх, ось симметрии \(x=1\).

Нули функции: \[ x^2-2x-3=0,\qquad D=4+12=16, \] \[ x_{1,2}=\frac{2\pm4}{2}, \] то есть \(x=-1\) и \(x=3\).

Дополнительные точки для построения:

Парабола проходит через \((-1;0)\), \((0;-3)\), \((1;-4)\), \((2;-3)\), \((3;0)\).

а) Выше оси \(Ox\) график находится слева от \(-1\) и справа от \(3\), поэтому: \[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty). \] Между корнями график ниже оси: \[ y<0 \text{ при } x\in(-1;3). \]

б) В точках пересечения с прямой \(y=3x+47\) значения \(y\) равны: \[ x^2-2x-3=3x+47. \] Перенесём всё в одну сторону: \[ x^2-5x-50=0. \] \[ D=25+200=225,\qquad x_{1,2}=\frac{5\pm15}{2}. \] Отсюда \(x=10\) или \(x=-5\). Найдём \(y\) по уравнению прямой: \[ y(10)=3\cdot10+47=77, \] \[ y(-5)=3\cdot(-5)+47=32. \] Получаем точки \((10;77)\) и \((-5;32)\).

2. Разложение на множители

а) Ищем два числа, сумма которых равна \(-13\), а произведение \(22\). Это \(-2\) и \(-11\): \[ x^2+13x+22=(x+2)(x+11). \]

б) Найдём корни уравнения \(8y^2-5y-3=0\): \[ D=(-5)^2-4\cdot8\cdot(-3)=25+96=121, \] \[ y_{1,2}=\frac{5\pm11}{16}. \] Значит, \(y_1=1\), \(y_2=-\dfrac{3}{8}\). Тогда: \[ 8y^2-5y-3=8(y-1)\left(y+\frac{3}{8}\right)=(y-1)(8y+3). \]

3. Сокращение дроби

Разложим числитель и знаменатель: \[ x^2+x-42=(x-6)(x+7), \] \[ x^2-36=(x-6)(x+6). \] Получаем: \[ \frac{x^2+x-42}{x^2-36} = \frac{(x-6)(x+7)}{(x-6)(x+6)} = \frac{x+7}{x+6}. \] При этом исходная дробь не существует при \(x=6\) и \(x=-6\), поэтому обязательно указываем: \[ x\ne -6,\quad x\ne 6. \]

4. Наибольшее значение функции

\[ y=-x^2-6x-9=-(x^2+6x+9)=-(x+3)^2. \] Квадрат всегда неотрицателен: \[ (x+3)^2\ge0, \] поэтому \[ -(x+3)^2\le0. \] Наибольшее значение равно \(0\), и достигается оно при \[ x+3=0,\qquad x=-3. \]

Проверка

• В пункте 1б обе точки удовлетворяют и уравнению параболы, и уравнению прямой.
• В пункте 2 раскрытие скобок возвращает исходные трёхчлены.
• В пункте 3 при допустимых \(x\), например при \(x=0\), получаем \(\frac{7}{6}\) и в исходной, и в сокращённой дроби.
• В пункте 4 при \(x=-3\) значение равно \(0\), а при остальных \(x\) функция отрицательна.