1. Найдите координаты и длину вектора b, если b = 1/2 c - d, c{6; -2}, d{1; -2}

Краткий ответ

1. \( \vec{b}\{2;\,1\} \), \( |\vec{b}| = \sqrt{5} \).

2. \( CD = CE = 5 \), значит, треугольник \( CDE \) равнобедренный с основанием \( DE \).

Ключевые шаги

Задача 1 — вектор \( \vec{b} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{d} \)

Принцип: умножение вектора на число и вычитание векторов делаются покоординатно.

Умножаем \( \vec{c}\{6;\,-2\} \) на \( \frac{1}{2} \):

\[ \frac{1}{2}\vec{c} = \left\{\frac{6}{2};\,\frac{-2}{2}\right\} = \{3;\,-1\} \]

Вычитаем \( \vec{d}\{1;\,-2\} \):

\[ \vec{b} = \{3-1;\,-1-(-2)\} = \{2;\,1\} \]

Длина вектора — по теореме Пифагора:

\[ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \]

Задача 2 — треугольник \( C(2;2) \), \( D(6;5) \), \( E(5;-2) \)

Принцип: длина стороны — это расстояние между точками по формуле \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

\[ CD = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \]

\[ CE = \sqrt{(5-2)^2+(-2-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \]

\[ DE = \sqrt{(5-6)^2+(-2-5)^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Так как \( CD = CE = 5 \), две стороны равны — треугольник равнобедренный, а основание \( DE \).

Проверка

• Вектор \( \vec{b} \): подставляем обратно — \( \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b} = \{3;-1\} - \{2;1\} = \{1;-2\} = \vec{d} \). Верно.
• Треугольник существует: \( 5 + 5 = 10 > 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \). Условие неравенства треугольника выполнено.
• \( DE \) — единственная «особая» сторона, поэтому именно она является основанием.

На фото виден только пункт «а)» второго задания — если там есть пункт «б)», он в кадр не попал.