2.29; 2.30 1 столбики, по образцу

Чтобы сделать точно по образцу, мне нужен сам образец: в переписке нет ни условий 2.29–2.30, ни страницы учебника, поэтому уравнения и порядок оформления я не могу восстановить надёжно.

Пришлите, пожалуйста, одно фото страницы, где видны задания 2.29, 2.30 (первые столбики) и образец решения — я оформлю каждый номер строго по нему: та же запись \(a\), \(b\), \(c\), \(D\), корней и ответа, без лишних пояснений.

Добавляю в 2.29 нахождение корней — так же, как в 2.30: после \(D\) идёт строка с \(x_{1,2}\), затем значения и ответ.

2.29, 1-й столбик (с корнями)

1) \(x^2-5x+6=0\) \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \] \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \] \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2} \] \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \] Ответ: \(x_1=3,\ x_2=2\).

2) \(2x^2+x-3=0\) \[ a=2,\quad b=1,\quad c=-3 \] \[ D=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25 \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-1\pm5}{4} \] \[ x_1=\frac{-1+5}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}=-1{,}5 \] Ответ: \(x_1=1,\ x_2=-\frac{3}{2}\).

3) \(3x^2-13x+14=0\) \[ a=3,\quad b=-13,\quad c=14 \] \[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot14=169-168=1 \] \[ x_{1,2}=\frac{13\pm\sqrt{1}}{2\cdot3}=\frac{13\pm1}{6} \] \[ x_1=\frac{13+1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3},\qquad x_2=\frac{13-1}{6}=\frac{12}{6}=2 \] Ответ: \(x_1=\frac{7}{3},\ x_2=2\).

4) \(y^2-y-20=0\) \[ a=1,\quad b=-1,\quad c=-20 \] \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=1+80=81 \] \[ y_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{1\pm9}{2} \] \[ y_1=\frac{1+9}{2}=5,\qquad y_2=\frac{1-9}{2}=-4 \] Ответ: \(y_1=5,\ y_2=-4\).

В номере 2.30 корни уже стоят в конце каждого пункта, поэтому его переписывать не нужно.

Если в тетради, например, первой пишут разность, а не сумму (то есть \(x_1\) и \(x_2\) меняются местами) или ответ записывают без слова «Ответ», скажи — перепишу под твой образец.

В моей записи \(\pm\) разложен так: плюс — это \(x_1\), минус — это \(x_2\). Поэтому в номере 2:

\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4};\qquad x_1=\frac{-1+5}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{6}{4}=-1{,}5. \]

Значит, \(-1{,}5\) — это \(x_2\), а \(x_1=1\).

Важный момент: сам ответ — это пара корней \(\{1;\ -1{,}5\}\), и от перестановки он не меняется. Но если в тетради (или у учителя) принято писать корни по возрастанию, то есть \(x_1<x_2\), то в этом номере будет наоборот:

\[ x_1=-1{,}5,\qquad x_2=1. \]

Тогда в остальных номерах 2.29 порядок тоже надо поменять: (1) \(x_1=2,\ x_2=3\); (3) \(x_1=2,\ x_2=\frac{7}{3}\); (4) \(y_1=-4,\ y_2=5\).

Посмотри в образце, как записано: если там первым идёт меньший корень — бери вариант по возрастанию, если первым идёт «с плюсом» — оставляй мой.

Похоже, у тебя на экране «съелась» дробная часть смешанного числа: \(2\frac{1}{3}\) — это «две целых одна третья», а не «двадцать один третий» и не «2,1». Запишу пункт 3 целиком, с полной последней строкой и без сокращений.

3) \(3x^2-13x+14=0\)

\[ a=3,\quad b=-13,\quad c=14 \] \[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot14=169-168=1>0 \] \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{13\pm1}{2\cdot3}=\frac{13\pm1}{6} \] \[ x_1=\frac{13+1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3} \] \[ x_2=\frac{13-1}{6}=\frac{12}{6}=2 \]

Ответ: \(x_1=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3},\quad x_2=2\) (или короче: \(2;\ 2\frac{1}{3}\)).

Пояснения к этой строке:

• \(\frac{14}{6}\) сокращаем на 2: получаем \(\frac{7}{3}\) — это несократимая обыкновенная дробь.
• Выделяем целую часть: \(7:3=2\) и остаток \(1\), значит \(\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\).
• В конечную десятичную дробь это число не переводится: \(2\frac{1}{3}=2{,}333\ldots\). Если учитель требует десятичную запись, пишут \(x_1\approx2{,}33\) (или \(2{,}(3)\)).

Проверка по Виету: \(x_1+x_2=\frac{7}{3}+2=\frac{13}{3}=-\frac{b}{a}\) ✓, \(x_1x_2=\frac{7}{3}\cdot2=\frac{14}{3}=\frac{c}{a}\) ✓.

Если «не видно продолжения» — это про другое (например, обрезается низ страницы), напиши, что именно видно после \(2\frac{1}{3}\): я подгоню запись под твою тетрадь.

2.30 — в том же оформлении, что 2.29 (с полной строкой \(x_{1,2}\))

1) \(x^2+7x-60=0\) \[ a=1,\quad b=7,\quad c=-60 \] \[ D=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-60)=49+240=289 \] \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{-7\pm17}{2} \] \[ x_1=\frac{-7+17}{2}=5,\qquad x_2=\frac{-7-17}{2}=-12 \] Ответ: \(x_1=5,\ x_2=-12\).

2) \(m^2+m-90=0\) \[ a=1,\quad b=1,\quad c=-90 \] \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-90)=1+360=361 \] \[ m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{361}}{2}=\frac{-1\pm19}{2} \] \[ m_1=\frac{-1+19}{2}=9,\qquad m_2=\frac{-1-19}{2}=-10 \] Ответ: \(m_1=9,\ m_2=-10\).

3) \(3x^2+32x+80=0\) \[ a=3,\quad b=32,\quad c=80 \] \[ D=32^2-4\cdot3\cdot80=1024-960=64 \] \[ x_{1,2}=\frac{-32\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}=\frac{-32\pm8}{6} \] \[ x_1=\frac{-32+8}{6}=\frac{-24}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-32-8}{6}=\frac{-40}{6}=-\frac{20}{3}=-6\frac{2}{3} \] Ответ: \(x_1=-4,\ x_2=-\frac{20}{3}\).

4) \(3x^2-6x+3=0\) (можно сразу разделить на 3) \[ x^2-2x+1=0;\quad a=1,\quad b=-2,\quad c=1 \] \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0 \] При \(D=0\) корень один, и «плюс-минус» даёт одно и то же число: \[ x=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{2}=1 \] Ответ: \(x=1\) (корень один).

Если в номере попадётся \(D<0\)

Тогда строка с \(x_{1,2}\) не пишется — корня из отрицательного числа нет, и решение заканчивается так:

\[ D=-11<0\quad\Rightarrow\quad \text{корней нет} \]

Ответ: корней нет (в действительных числах).

Пример полной записи такого пункта: \(x^2+3x+5=0\) \[ a=1,\ b=3,\ c=5;\qquad D=3^2-4\cdot1\cdot5=9-20=-11<0 \] Ответ: корней нет.

Среди пунктов 2.30, которые мы решали, таких нет: там \(D=289,\ 361,\ 64\) и \(0\). Чтобы я вписал \(D<0\) в нужный пункт, пришли номер пункта (или само уравнение) — и я оформлю его этим же образцом.

2.30, 1-й столбик — с \(x_{1,2}\) и указанием знака \(D\)

1) \(x^2+7x-60=0\) \[ a=1,\quad b=7,\quad c=-60 \] \[ D=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-60)=49+240=289 \] \[ D=289>0 \Rightarrow \text{два корня} \] \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{-7\pm17}{2} \] \[ x_1=\frac{-7+17}{2}=5,\qquad x_2=\frac{-7-17}{2}=-12 \] Ответ: \(x_1=5,\ x_2=-12\).

2) \(m^2+m-90=0\) \[ a=1,\quad b=1,\quad c=-90 \] \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-90)=1+360=361 \] \[ D=361>0 \Rightarrow \text{два корня} \] \[ m_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{361}}{2}=\frac{-1\pm19}{2} \] \[ m_1=\frac{-1+19}{2}=9,\qquad m_2=\frac{-1-19}{2}=-10 \] Ответ: \(m_1=9,\ m_2=-10\).

3) \(3x^2+32x+80=0\) \[ a=3,\quad b=32,\quad c=80 \] \[ D=32^2-4\cdot3\cdot80=1024-960=64 \] \[ D=64>0 \Rightarrow \text{два корня} \] \[ x_{1,2}=\frac{-32\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}=\frac{-32\pm8}{6} \] \[ x_1=\frac{-32+8}{6}=\frac{-24}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-32-8}{6}=\frac{-40}{6}=-\frac{20}{3}=-6\frac{2}{3} \] Ответ: \(x_1=-4,\ x_2=-\frac{20}{3}\).

4) \(3x^2-6x+3=0\) \[ 3x^2-6x+3=0\ \Big|\ :3 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \] \[ a=1,\quad b=-2,\quad c=1 \] \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0 \] \[ D=0 \Rightarrow \text{один корень} \] \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm0}{2}=1 \] \[ x_{1,2}=1 \] Ответ: \(x=1\) (корень один).

Как записывать \(D>0\) и \(D<0\)

• \(D>0\) — два разных корня, строка \(x_{1,2}\) пишется, а знак \(\pm\) даёт два числа.
• \(D=0\) — корень один: \(x=\frac{-b}{2a}\) (это и есть случай 4).
• \(D<0\) — корней нет, строка \(x_{1,2}\) не пишется. Образец записи:

\[ x^2+3x+5=0;\quad a=1,\ b=3,\ c=5 \] \[ D=3^2-4\cdot1\cdot5=9-20=-11 \] \[ D=-11<0 \Rightarrow \text{корней нет} \] Ответ: корней нет.

В 1-м столбике 2.30 пунктов с \(D<0\) нет — там \(D=289,\ 361,\ 64\) и \(0\).