Задания для самостоятельного решения. Решите неравенство:

Краткие ответы

1. \(x\in(1;+\infty)\)
2. \(x\in[11;+\infty)\)
3. \(x\in(2;4]\)
4. \(x\in(7;10)\)
5. \(x\in\left(\frac13;4\right)\)
6. \(x\in\left(\frac34;2\right]\)

Общий принцип

Сначала находим ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным. Затем сравниваем логарифмы с одинаковым основанием:

• если основание \(a>1\), функция возрастает, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется;
• если \(0<a<1\), функция убывает, поэтому знак неравенства меняется.

Число \(c\) удобно записывать как \(\log_a a^c\). После решения обязательно пересекаем полученный промежуток с ОДЗ.

Решения

1. \(\log_5(4x-3)>0\).

ОДЗ: \(4x-3>0\), то есть \(x>\frac34\). Так как \(0=\log_5 1\), а основание \(5>1\):

\[ 4x-3>1 \]

\[ 4x>4 \quad\Rightarrow\quad x>1 \]

С учётом ОДЗ: \(x>1\).

Ответ: \((1;+\infty)\).

---

2. \(\log_{1/2}(x-3)\le -3\).

ОДЗ: \(x-3>0\), то есть \(x>3\). Представим \(-3\) как \(\log_{1/2}8\), потому что \(\left(\frac12\right)^{-3}=8\). Основание \(\frac12<1\), значит, знак неравенства меняется:

\[ x-3\ge 8 \]

\[ x\ge 11 \]

С учётом \(x>3\) получаем \(x\ge 11\).

Ответ: \([11;+\infty)\).

---

3. \(\lg(5x-10)\le 1\).

\(\lg\) — это десятичный логарифм, основание \(10\). ОДЗ:

\[ 5x-10>0 \quad\Rightarrow\quad x>2 \]

Так как \(1=\lg 10\), а основание \(10>1\):

\[ 5x-10\le 10 \]

\[ 5x\le 20 \quad\Rightarrow\quad x\le 4 \]

Пересекаем с ОДЗ: \(2<x\le 4\).

Ответ: \((2;4]\).

---

4. \(\log_{1/3}(x-7)>-1\).

ОДЗ: \(x>7\). Так как \(-1=\log_{1/3}3\), а основание \(\frac13<1\), знак неравенства меняется:

\[ x-7<3 \]

\[ x<10 \]

Вместе с ОДЗ: \(7<x<10\).

Ответ: \((7;10)\).

---

5. \(\log_3(3x-1)<\log_3(2x+3)\).

ОДЗ:

\[ 3x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>\frac13 \]

\[ 2x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-\frac32 \]

Общее ОДЗ: \(x>\frac13\). Основание \(3>1\), поэтому знак сохраняется:

\[ 3x-1<2x+3 \]

\[ x<4 \]

Пересекаем с ОДЗ:

\[ \frac13<x<4 \]

Ответ: \(\left(\frac13;4\right)\).

---

6. \(\log_{1/7}(4x-3)\ge\log_{1/7}(x+3)\).

ОДЗ:

\[ 4x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>\frac34 \]

\[ x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-3 \]

Общее ОДЗ: \(x>\frac34\). Основание \(\frac17<1\), поэтому знак неравенства меняется:

\[ 4x-3\le x+3 \]

\[ 3x\le 6 \quad\Rightarrow\quad x\le 2 \]

Пересекаем с ОДЗ:

\[ \frac34<x\le 2 \]

Ответ: \(\left(\frac34;2\right]\).

Проверка

Я проверил результаты по контрольным точкам. Например, в №1 \(x=2\) подходит, а \(x=0{,}9\) — нет; в №2 \(x=12\) подходит, а \(x=10\) — нет; в №6 \(x=1\) подходит, а \(x=3\) — нет. Границы с нестрогими знаками, не противоречащие ОДЗ, включены: \(11\), \(4\) в №3 и \(2\) в №6. Границы ОДЗ всегда выколоты.