Задачи 640–642. 640 Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задачи 640 Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах? 641 Пропорциональны ли изображённые на рисунке 221, а отрезки: а) AC, CD и M₁M₂, MM₂; б) AB, BC, CD и MM₂, MM₁, M₁M₂; в) AB, BD и MM₁, M₁M₂? 642 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Решение. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Докажем, что BD/AB = CD/AC (рис. 221, б). Треугольники ABD и ACD имеют об- [обрезано] [Рисунок 221, а: две горизонтальные линии с делениями; на верхней отмечены A, B, C, D, на нижней — M₁, M, M₂. Рисунок 221, б: треугольник ABC, на прямой BC отмечены H, B, D, C; проведены AH и AD; у вершины A отмечены углы 1 и 2.]
На фото задачи 640–642, поэтому ниже — решения всех трёх.
Кратко: 640 — \(AB:CD=3:4\); 641 — а) нет, б) да, в) нет; 642 — \(BD:DC=AB:AC\).
640
\[ \frac{AB}{CD}=\frac{15}{20}=\frac34 \] то есть \(AB:CD=3:4\).
В миллиметрах: \(15\) см \(=150\) мм, \(20\) см \(=200\) мм, поэтому \[ \frac{AB}{CD}=\frac{150}{200}=\frac34. \] Отношение не изменится: обе длины умножаются на одно и то же число, и оно сокращается.
641
По делениям рисунка 221, а: \[ AB=3,\quad BC=2,\quad CD=5, \] значит, \[ AC=3+2=5,\qquad BD=2+5=7. \] Для нижнего отрезка: \[ MM_1=2,\quad MM_2=3,\quad M_1M_2=5. \]
а) \(\dfrac{AC}{CD}=\dfrac55=1\), а \(\dfrac{M_1M_2}{MM_2}=\dfrac53\) — не пропорциональны.
б) \[ \frac{AB}{MM_2}=\frac33=1,\quad \frac{BC}{MM_1}=\frac22=1,\quad \frac{CD}{M_1M_2}=\frac55=1. \] Значит, отрезки \(AB, BC, CD\) пропорциональны отрезкам \(MM_2, MM_1, M_1M_2\) — да.
в) \(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac37\), а \(\dfrac{MM_1}{M_1M_2}=\dfrac25\) — не пропорциональны.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет.
642
Пусть \(AD\) — биссектриса угла \(A\), точка \(D\) лежит на \(BC\). Тогда \[ \angle BAD=\angle CAD. \]
Сначала выразим отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(ACD\) через стороны, заключающие равные углы: \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac12 AB\cdot AD\sin\angle BAD} {\frac12 AC\cdot AD\sin\angle CAD} = \frac{AB}{AC}. \]
С другой стороны, у этих треугольников общая высота, проведённая из \(A\) к прямой \(BC\), а основания \(BD\) и \(DC\) лежат на одной прямой. Поэтому \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}. \]
Приравниваем: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \] Или, в виде из учебника: \[ \frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}. \]
То есть биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Проверка: если \(AB=AC\), то получаем \(BD=DC\), как и должно быть в равнобедренном треугольнике.
