640 Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см.

На фото три номера — 640, 641 и 642. Я разобрал все; если нужен только один, смотри по номеру.

Кратко: 640 — \(3:4\), в миллиметрах не изменится; 641 — а) нет, б) да; 642 — \(BD:DC=AB:AC\).

640.
\[ AB:CD=15:20=3:4. \] В миллиметрах: \(15\) см \(=150\) мм, \(20\) см \(=200\) мм, поэтому \[ 150:200=3:4. \] Отношение не изменится: при переводе обе длины умножаются на одно и то же число, и оно сокращается.

641.
Пропорциональность означает, что отношения соответствующих отрезков равны: \[ \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots \] Порядок отрезков при этом важен.

По рисунку 221, а точка \(C\) — середина \(AD\), значит \(AC=CD\). Точка \(M\) лежит между \(M_1\) и \(M_2\), поэтому \(M_1M_2=MM_1+MM_2\).

а) \[ \frac{AC}{CD}=1, \] а \[ \frac{M_1M_2}{MM_2}=\frac{MM_1+MM_2}{MM_2}>1. \] Отношения разные, значит отрезки не пропорциональны.

б) По делениям рисунка \(AB=MM_2\), \(BC=MM_1\), \(CD=M_1M_2\). Тогда \[ \frac{AB}{MM_2}=\frac{BC}{MM_1}=\frac{CD}{M_1M_2}=1. \] Значит, да, пропорциональны.

642.
Нужно доказать: если \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), \(D\in BC\), то \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]

1. Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общую высоту, проведённую из \(A\) к прямой \(BC\). Поэтому \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}. \]

2. С другой стороны, по формуле площади через две стороны и угол: \[ S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\sin\angle BAD, \] \[ S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\sin\angle DAC. \] Так как \(AD\) — биссектриса, \(\angle BAD=\angle DAC\), поэтому синусы равны. Значит, \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}. \]

3. Сравниваем два выражения для одного и того же отношения площадей: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \] То есть биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Что и требовалось доказать.

Проверка: если \(AB=AC\), то получается \(BD=DC\) — в равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию действительно является медианой.