36 Прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой a. 37 Прямая m пересекает сторону AB треугольника ABC.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
36 Прямая $c$ пересекает прямую $a$ и не пересекает прямую $b$, параллельную прямой $a$. Докажите, что $b$ и $c$ — скрещивающиеся прямые.
37 Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$. Каково взаимное расположение прямых $m$ и $BC$, если:
а) прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$ и не имеет общих точек с отрезком $AC$;
б) прямая $m$ не лежит в плоскости $ABC$?

Answer

На фото два задания — 36 и 37; решу оба.

Кратко

36: прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

37: а) $m$ и $BC$ пересекаются; б) $m$ и $BC$ скрещиваются — в обычной трактовке, когда $m$ пересекает сторону $AB$ не в вершине $B$. Если $m$ проходит через $B$, то $m$ и $BC$ пересекаются в точке $B$.

36.
Дано: $c$ пересекает $a$, но не пересекает $b$, причём $b\parallel a$.

1. Если бы $c\parallel b$, то из $b\parallel a$ следовало бы $c\parallel a$. Но $c$ пересекает $a$, значит, $c$ не может быть параллельна $b$.

2. По условию $c$ и $b$ не пересекаются.

3. Две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, являются скрещивающимися.

Значит, $b$ и $c$ — скрещивающиеся прямые.

37. а)
Пусть $M=m\cap AB$. Прямые $m$ и $BC$ лежат в одной плоскости $ABC$, поэтому они либо пересекаются, либо параллельны.

Если бы $m\parallel BC$, то прямая через точку $M$, параллельная $BC$, пересекла бы сторону $AC$ треугольника $ABC$. Но по условию $m$ не имеет общих точек с отрезком $AC$ — противоречие. Значит, $m$ не параллельна $BC$, а потому в плоскости $ABC$ пересекается с $BC$.

Ответ: $m$ и $BC$ пересекаются.

37. б)
Пусть $M=m\cap AB$, причём $M\ne B$. Тогда $M$ лежит в плоскости $ABC$, но не лежит на $BC$.

Если бы $m$ и $BC$ имели общую точку $Q$, то две точки $M$ и $Q$ прямой $m$ лежали бы в плоскости $ABC$. Тогда вся прямая $m$ лежала бы в плоскости $ABC$, что противоречит условию.

Если бы $m\parallel BC$, то через $M$ в плоскости $ABC$ проходила бы прямая, параллельная $BC$, и это была бы $m$. Снова получили бы $m\subset ABC$ — противоречие.

Значит, $m$ не пересекает $BC$ и не параллельна ей, то есть $m$ и $BC$ скрещиваются.

Проверка: в пункте 37а прямые компланарны, поэтому скрещивающимися быть не могут; параллельность запрещена условием с $AC$, остаётся пересечение. В пункте 37б любая общая точка или параллельность заставили бы $m$ лежать в плоскости $ABC$, чего нет.