1014 Найдите cos α, если: а) sin α = √3/2; б) sin α = 1/4; в) sin α = 0.

На фото номера 1014–1019; решаю все. Углы — в градусах.

Краткие ответы

1014.
а) \(\cos\alpha=\pm\frac12\); б) \(\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}4\); в) \(\cos\alpha=\pm1\).
В номере не указана четверть, поэтому возможны два знака. Если заранее считать угол острым, берут только «+».

1015.
а) \(\mathrm{tg}\,\alpha=0\); б) \(-\frac{\sqrt3}{3}\); в) \(1\); г) \(-\frac34\).

1016.

Угол	\(\sin\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(\mathrm{tg}\,\alpha\)
\(120^\circ\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(-\frac12\)	\(-\sqrt3\)
\(135^\circ\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(-\frac{\sqrt2}{2}\)	\(-1\)
\(150^\circ\)	\(\frac12\)	\(-\frac{\sqrt3}{2}\)	\(-\frac{\sqrt3}{3}\)

1017.
а) два угла: примерно \(41{,}8^\circ\) и \(138{,}2^\circ\);
б) примерно \(41{,}4^\circ\);
в) примерно \(113{,}6^\circ\).
Как строить — ниже.

1018.
а) \(\left(\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right)\);
б) \((0;1{,}5)\);
в) \(\left(-\frac{5\sqrt3}{2};\frac52\right)\);
г) \((-1;0)\);
д) \((\sqrt3;1)\).

1019.
а) \(45^\circ\); б) \(90^\circ\); в) \(150^\circ\); г) \(135^\circ\).

Как получается

1014–1015: основное тождество

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

Отсюда

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}. \]

Например, в 1014а:

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\frac34}=\pm\frac12. \]

Знак косинуса зависит от четверти: в I четверти \(\cos\alpha>0\), во II — \(\cos\alpha<0\).

В 1015г дан угол \(90^\circ<\alpha<180^\circ\), то есть II четверть. Поэтому

\[ \cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=-\frac45, \]

\[ \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34. \]

1016: формулы приведения

Используем:

\[ \sin(180^\circ-\beta)=\sin\beta,\qquad \cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta. \]

Например,

\[ 120^\circ=180^\circ-60^\circ, \]

поэтому

\[ \sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12, \] \[ \mathrm{tg}\,120^\circ=\frac{\sin120^\circ}{\cos120^\circ}=-\sqrt3. \]

Аналогично считаются \(135^\circ=180^\circ-45^\circ\) и \(150^\circ=180^\circ-30^\circ\).

1017: построение на единичной полуокружности

Берём верхнюю половину окружности \(x^2+y^2=1\), \(y\ge0\). Луч из начала координат \(O\) в точку \(P(x;y)\) образует с положительной полуосью \(Ox\) угол \(A\), причём

\[ \sin A=y,\qquad \cos A=x. \]

Поэтому:

• а) проводим горизонтальную прямую \(y=\frac23\). Она пересекает полуокружность в двух точках, значит получаются два угла с таким синусом. Если нужен острый — берём правую точку.
• б) проводим вертикальную прямую \(x=\frac34\). В верхней полуокружности одна точка; соединяем её с \(O\).
• в) проводим вертикальную прямую \(x=-\frac25\). Точка будет слева, угол получится тупым.

1018: координаты точки по углу

Если \(OA=r\), а угол с положительной полуосью \(Ox\) равен \(\alpha\), то

\[ x=r\cos\alpha,\qquad y=r\sin\alpha. \]

Например, в 1018в:

\[ x=5\cos150^\circ=5\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{5\sqrt3}{2}, \] \[ y=5\sin150^\circ=5\cdot\frac12=\frac52. \]

Остальные пункты — такая же подстановка.

1019: угол по координатам

Угол \(\alpha\) находится по знакам \(x\) и \(y\):

\[ \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{y}{x}, \]

но знак и четверть нужно учитывать отдельно.

Например, в 1019в:

\[ x=-\sqrt3<0,\qquad y=1>0, \]

значит точка во II четверти. Модуль тангенса:

\[ \left|\mathrm{tg}\,\alpha\right|=\frac{1}{\sqrt3}, \]

поэтому опорный угол \(30^\circ\), а сам угол:

\[ 180^\circ-30^\circ=150^\circ. \]

Проверка

Для 1014–1015 подстановка ответов в

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \]

даёт верное равенство. Для 1018 можно проверить расстояние:

\[ \sqrt{x^2+y^2}=OA. \]

Например, в 1018в:

\[ \left(-\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac52\right)^2 =\frac{75}{4}+\frac{25}{4}=25, \]

то есть \(OA=5\), как в условии.