31. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.

Хорошо, давай без букв — на числах.

Что означают буквы

Буквы — это просто «имена» отрезков:

• \(AD\) — нижняя сторона параллелограмма (основание);
• \(h\) — высота, то есть расстояние между нижней и верхней сторонами;
• \(E\) — середина нижней стороны, поэтому \(AE\) — её половинка.

Считаем на примере

Представь, что нижняя сторона равна \(20\), а высота \(9{,}45\). Тогда площадь всего параллелограмма: \[ 20 \cdot 9{,}45 = 189 \] — сходится с условием.

Точка \(E\) — середина, значит \(AE = 10\) (половина от 20).

Треугольник \(ABE\) — это половина прямоугольника со сторонами \(10\) и \(9{,}45\): \[ \frac{10 \cdot 9{,}45}{2} = 47{,}25 \]

Осталось вырезать этот треугольник из всего параллелограмма: \[ 189 - 47{,}25 = 141{,}75 \]

Суть одной фразой

Треугольник занимает четверть всей фигуры, потому что его основание в 2 раза короче, а высота такая же. Значит, трапеция — это оставшиеся три четверти: \[ 189 : 4 \cdot 3 = 141{,}75 \]

Ответ: \(141{,}75\).

Так понятнее? Могу разобрать ещё раз на рисунке словами — например, где именно проходит высота.

Идём по формуле площади трапеции слева направо:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \]

1. Что такое \(a\) — первое основание

Основания трапеции \(AECB\) — это параллельные стороны \(AE\) и \(BC\). Берём \(a=AE\).

Почему \(AE\) равно половине \(AD\)? Потому что \(E\) — середина \(AD\). Значит: \[ a=\frac{AD}{2} \]

2. Что такое \(b\) — второе основание

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(BC=AD\): \[ b=AD \]

3. Что такое \(h\) — высота

Высота трапеции — расстояние между её основаниями. Оно такое же, как высота всего параллелограмма, ведь верхняя сторона \(BC\) общая. То есть \(h\) не меняется.

4. Подставляем \(a\) и \(b\) в числитель

\[ a+b=\frac{AD}{2}+AD=\frac{AD}{2}+\frac{2AD}{2}=\frac{3AD}{2} \]

5. Делим на 2 — это часть формулы \(\frac{a+b}{2}\)

\[ \frac{a+b}{2}=\frac{\frac{3AD}{2}}{2}=\frac{3AD}{4} \]

6. Умножаем на \(h\)

\[ S=\frac{3AD}{4}\cdot h=\frac{3}{4}\cdot\left(AD\cdot h\right) \]

В скобках — ровно площадь параллелограмма, то есть \(189\): \[ S=\frac{3}{4}\cdot189=141{,}75 \]

Итог: формула дала \(\frac34\) от площади параллелограмма. Ответ: \(141{,}75\).

Понимаю, давай совсем просто, без формул.

1. Есть параллелограмм площадью \(189\).
2. Точка \(E\) делит нижнюю сторону пополам.
3. Треугольник \(ABE\) — это «уголок» фигуры. Его основание — половина нижней стороны, а высота такая же, как у всего параллелограмма. Поэтому его площадь — четверть от \(189\), то есть \(47{,}25\).
4. Трапеция — это весь параллелограмм без этого уголка: \(189 - 47{,}25 = 141{,}75\).

Один вопрос, чтобы я объяснил точнее: непонятно, почему треугольник — это ровно четверть, или почему у трапеции высота та же?

Хороший вопрос — там два «половинных» шага, и они перемножаются.

Шаг 1. Откуда берётся «половина» у треугольника

Площадь треугольника — это половина прямоугольника с тем же основанием и той же высотой: \[ S_{\triangle}=\frac{\text{основание}\cdot\text{высота}}{2} \] Почему половина: два одинаковых треугольника складываются в прямоугольник (или параллелограмм). То есть один треугольник — ровно половина.

Шаг 2. Откуда вторая «половина»

Основание треугольника \(ABE\) — это \(AE\), а \(E\) — середина \(AD\). Значит основание в 2 раза меньше нижней стороны параллелограмма.

Шаг 3. Половинка от половинки

Берём параллелограмм и делаем два уменьшения:

• основание уменьшили в 2 раза → площадь стала \(\frac{1}{2}\);
• потом ещё применили формулу треугольника с её \(\frac{1}{2}\) → умножаем ещё на \(\frac{1}{2}\).

\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]

Проверка на числах

Пусть нижняя сторона \(20\), высота \(9{,}45\). Параллелограмм: \(20\cdot 9{,}45=189\).

Треугольник: основание \(10\), высота \(9{,}45\): \[ \frac{10\cdot 9{,}45}{2}=47{,}25 \]

А \(189:4=47{,}25\). Совпало — значит, действительно четверть.

Коротко: треугольник — половина прямоугольника, а его основание — половина нижней стороны. Половина от половины = четверть.

Ты, кажется, хотел спросить: «…та же высота, что у параллелограмма?» — да, именно так. Объясняю почему.

Что такое высота вообще

Высота — это расстояние от вершины до прямой, на которой лежит основание. То есть длина перпендикуляра, опущенного из вершины на эту прямую.

Смотрим на треугольник \(ABE\)

• вершина — точка \(B\);
• основание \(AE\) лежит на прямой \(AD\).

Значит, высота треугольника — это перпендикуляр из \(B\) на прямую \(AD\). Обозначим его \(BH\).

Смотрим на параллелограмм

Его высота к стороне \(AD\) — это расстояние между параллельными прямыми \(AD\) и \(BC\). Но точка \(B\) лежит на прямой \(BC\), поэтому расстояние от \(B\) до \(AD\) — это и есть расстояние между этими прямыми.

Вывод

Перпендикуляр \(BH\) — один и тот же отрезок в обоих случаях. Он не зависит от того, какую фигуру мы рассматриваем, потому что зависит только от двух вещей: от точки \(B\) и от прямой \(AD\). Обе не изменились.

Проверка на числах

Пусть \(A(0;0)\), \(D(20;0)\), \(B(3;9{,}45)\), \(C(23;9{,}45)\), \(E(10;0)\).

Высота из \(B\) на прямую \(AD\) — это просто её вертикальная координата: \(9{,}45\). У параллелограмма высота тоже \(9{,}45\). Совпало.

Важная деталь: высота считается до прямой, а не до отрезка. Даже если перпендикуляр из \(B\) упадёт мимо отрезка \(AE\), высота всё равно равна \(9{,}45\) — главное, что основание лежит на этой прямой.

Если ты имел в виду другой вопрос (например, «…что у треугольника \(ABD\)»), напиши — разберу.