Задания для самостоятельного решения.

Краткие ответы

1. \(x\in(1;+\infty)\)
2. \(x\in[11;+\infty)\)
3. \(x\in(2;4]\)
4. \(x\in(7;10)\)
5. \(x\in\left(\frac13;4\right)\)
6. \(x\in\left(\frac34;2\right]\)

Как решать такие неравенства

1. Сначала находим ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным.
2. Если справа стоит число, представляем его логарифмом с тем же основанием.
3. Сравниваем аргументы:
   • при основании \(a>1\) знак неравенства сохраняется;
   • при \(0<a<1\) знак неравенства меняется на противоположный.
4. В конце обязательно пересекаем полученный промежуток с ОДЗ.

Напомню: \(\lg x=\log_{10}x\).

Решения по пунктам

1)
\[ \log_5(4x-3)>0 \] ОДЗ: \(4x-3>0\), то есть \(x>\frac34\).
Так как \(0=\log_5 1\), а основание \(5>1\), \[ 4x-3>1 \quad\Rightarrow\quad x>1. \] Ответ: \(\boxed{(1;+\infty)}\).

2)
\[ \log_{1/2}(x-3)\le -3 \] ОДЗ: \(x>3\).
Представим \(-3=\log_{1/2}8\), поскольку \(\left(\frac12\right)^{-3}=8\).
Основание \(\frac12<1\), поэтому знак меняется: \[ x-3\ge 8 \quad\Rightarrow\quad x\ge 11. \] Ответ: \(\boxed{[11;+\infty)}\).

3)
\[ \lg(5x-10)\le 1 \] ОДЗ: \(5x-10>0\), то есть \(x>2\).
Так как \(1=\lg 10\) и основание \(10>1\), \[ 5x-10\le 10 \quad\Rightarrow\quad x\le 4. \] С учётом ОДЗ: \[ 2<x\le 4. \] Ответ: \(\boxed{(2;4]}\).

4)
\[ \log_{1/3}(x-7)>-1 \] ОДЗ: \(x>7\).
Представим \(-1=\log_{1/3}3\). Основание \(\frac13<1\), значит, знак меняется: \[ x-7<3 \quad\Rightarrow\quad x<10. \] С учётом ОДЗ: \[ 7<x<10. \] Ответ: \(\boxed{(7;10)}\).

5)
\[ \log_3(3x-1)<\log_3(2x+3) \] ОДЗ: \[ 3x-1>0 \Rightarrow x>\frac13, \] второе условие \(2x+3>0\) выполняется автоматически при \(x>\frac13\).
Основание \(3>1\), поэтому сравниваем аргументы без изменения знака: \[ 3x-1<2x+3 \quad\Rightarrow\quad x<4. \] Ответ: \(\boxed{\left(\frac13;4\right)}\).

6)
\[ \log_{1/7}(4x-3)\ge \log_{1/7}(x+3) \] ОДЗ: \[ 4x-3>0 \Rightarrow x>\frac34. \] Второе условие \(x+3>0\) при этом уже выполнено.
Основание \(\frac17<1\), поэтому знак неравенства меняется: \[ 4x-3\le x+3 \quad\Rightarrow\quad 3x\le 6 \quad\Rightarrow\quad x\le 2. \] Ответ: \(\boxed{\left(\frac34;2\right]}\).

Проверка границ: нестрогие концы \(11\), \(4\) и \(2\) входят в ответы, потому что соответствующие неравенства нестрогие и эти значения допустимы по ОДЗ. Остальные границы не входят.