Задача · 11 класс Задача №3798621
А
А
В правильной четырехугольной пирамиде XMRTH точка N - центр основания, X - вершина, XN = 48, RH = 128. Найдите боковое ребро ХМ. Реши реши
Краткий ответ: \(XM=80\).
Как понять решение
- Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат \(MRTH\). Вершины в названии основания идут по кругу, поэтому \(RH\) — диагональ квадрата.
- Точка \(N\) — центр основания, значит она делит диагональ пополам: \[ NM=NH=\frac{RH}{2}=\frac{128}{2}=64. \]
- \(XN\) — высота правильной пирамиды, поэтому \(XN\) перпендикулярна основанию, в частности: \[ XN\perp NM. \] Значит, треугольник \(XNM\) прямоугольный.
- По теореме Пифагора: \[ XM^2=XN^2+NM^2=48^2+64^2=2304+4096=6400. \] \[ XM=\sqrt{6400}=80. \]
Проверка: \(48:64:80=3:4:5\), это прямоугольный «египетский» треугольник, увеличенный в 16 раз. Значит, ответ найден верно.
Обсуждение
2 сообщения А
Объем правильной четырехугольной пирамиды PMBSX равен 195. Точка Г — середина ребра РВ. Найдите объем треугольной пирамиды TMBS.
Ответ: \(\displaystyle 48{,}75\), то есть \(\displaystyle \frac{195}{4}\).
Пусть высота исходной пирамиды равна \(h\), а площадь квадратного основания — \(S\).
- Точка \(T\) — середина бокового ребра \(PB\), поэтому её расстояние до плоскости основания в два раза меньше высоты пирамиды: \[ h_T=\frac{h}{2}. \]
- Треугольник \(MBS\) — это половина квадрата основания, значит \[ S_{MBS}=\frac{S}{2}. \]
- Объём треугольной пирамиды \(TMBS\): \[ V_{TMBS}=\frac13 S_{MBS}\cdot h_T =\frac13\cdot\frac{S}{2}\cdot\frac{h}{2} =\frac14\cdot\frac13 Sh. \] Но \(\frac13 Sh=195\), значит \[ V_{TMBS}=\frac{195}{4}=48{,}75. \]
Проверка: объём уменьшается в \(4\) раза: \(195:4=48{,}75\).
