Задание 1. Вычислите значение выражения:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задание 1. Вычислите значение выражения: A) \(\sqrt{81}\cdot\sqrt{4}-\sqrt{25}\) B) \(\sqrt{16\cdot25}+3\sqrt{49}-\sqrt{144}\) C) \((\sqrt{0,36}\cdot\sqrt{0,81}-\sqrt{0,04}):\sqrt{0,0009}\) Задание 2. Упростите выражение (примените формулы сокращённого умножения, где это уместно): A) \((\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)\) B) \((\sqrt{7}-2)^2+4\sqrt{7}\) C) \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\) Задание 3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: A) \(\frac{7}{\sqrt{7}}\) B) \(\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) C) \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\)
Задание 4. Представьте выражение в виде степени: A) \(x^5\cdot x^{-3}\) B) \((a^{-2})^3\cdot a^8\) C) \((b^{-3}\cdot b^0\cdot b^5)^2:b^{-4}\) (в выражении присутствуют показатели: отрицательный, нулевой и положительный) Задание 5. Вычислите (задание формата ОГЭ): A) Найдите значение выражения: \(\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}\) B) Найдите значение выражения: \(\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}\) C) Найдите значение выражения: \(\frac{5^{-2}\cdot5^4-5^3}{5^2}+3^0\) Задание 6. Найдите значение выражения (задания формата ОГЭ повышенной сложности): A) Найдите значение выражения: \(\frac{\sqrt{25a^9}\cdot\sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5b^8}}\) при \(a=4\) и \(b=7\). B) Найдите значение выражения: \(\sqrt{a^2+8ab+16b^2}\) при \(a=3\frac{3}{7}\) и \(b=\frac{1}{7}\). (Подсказка: обратите внимание на формулу сокращённого умножения под корнем.) C) Найдите значение выражения: \(\frac{\sqrt{49x^7}\cdot\sqrt{36y^6}}{\sqrt{x^3y^4}}\) при \(x=3\) и \(y=2\). (Аналогично заданию A, но с другими числами — для самостоятельной проверки навыка.)
Краткие ответы:
| № | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | \(13\) | \(29\) | \(\frac{34}{3}\) |
| 2 | \(-4\) | \(11\) | \(4\sqrt{6}\) |
| 3 | \(\sqrt{7}\) | \(5(\sqrt{3}+\sqrt{2})\) | \(2+\sqrt{3}\) |
| 4 | \(x^{2}\) | \(a^{2}\) | \(b^{8}\) |
| 5 | \(3\) | \(31-8\sqrt{15}\) | \(-3\) |
| 6 | \(320\) | \(4\) | \(756\) |
Как решать
1. Значения корней
Используем \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) и табличные корни.
A) \(\sqrt{81}\cdot\sqrt4-\sqrt{25}=9\cdot2-5=13\).
B) \(\sqrt{16\cdot25}+3\sqrt{49}-\sqrt{144}=20+3\cdot7-12=29\).
C)
\[
\sqrt{0{,}36}=0{,}6,\quad \sqrt{0{,}81}=0{,}9,\quad \sqrt{0{,}04}=0{,}2,\quad \sqrt{0{,}0009}=0{,}03.
\]
Тогда
\[
(0{,}6\cdot0{,}9-0{,}2):0{,}03=(0{,}54-0{,}2):0{,}03=0{,}34:0{,}03=\frac{34}{3}.
\]
2. Формулы сокращённого умножения
A) Разность квадратов: \[ (\sqrt5-3)(\sqrt5+3)=5-9=-4. \]
B) Квадрат разности: \[ (\sqrt7-2)^2+4\sqrt7=7-4\sqrt7+4+4\sqrt7=11. \]
C) Разность квадратов: \[ (\sqrt3+\sqrt2)^2-(\sqrt3-\sqrt2)^2 =(2\sqrt2)(2\sqrt3)=4\sqrt6. \]
3. Избавляемся от иррациональности
A)
\[
\frac7{\sqrt7}=\frac{7\sqrt7}{7}=\sqrt7.
\]
B) Умножаем на сопряжённое \(\sqrt3+\sqrt2\): \[ \frac5{\sqrt3-\sqrt2}= \frac{5(\sqrt3+\sqrt2)}{3-2}=5(\sqrt3+\sqrt2). \]
C)
\[
\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}
=
\frac{(\sqrt6+\sqrt2)^2}{6-2}
=
\frac{8+4\sqrt3}{4}
=
2+\sqrt3.
\]
4. Свойства степеней
A) \(x^5\cdot x^{-3}=x^{5-3}=x^2\).
B) \((a^{-2})^3\cdot a^8=a^{-6}\cdot a^8=a^2\).
C)
\[
b^{-3}\cdot b^0\cdot b^5=b^{-3+0+5}=b^2,
\]
поэтому
\[
(b^2)^2:b^{-4}=b^4:b^{-4}=b^{4-(-4)}=b^8.
\]
5. Вычисления в формате ОГЭ
A)
\[
\frac{\sqrt{45}}{\sqrt5}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt9=3.
\]
B)
\[
\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{(\sqrt5+\sqrt3)^2}
=
\left(\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}\right)^2.
\]
Сначала
\[
\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}
=
\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{5-3}
=
\frac{8-2\sqrt{15}}{2}
=
4-\sqrt{15}.
\]
Тогда
\[
(4-\sqrt{15})^2=16-8\sqrt{15}+15=31-8\sqrt{15}.
\]
C)
\[
5^{-2}\cdot5^4=5^2=25,
\]
поэтому
\[
\frac{25-125}{25}+1=\frac{-100}{25}+1=-4+1=-3.
\]
6. Корни с переменными
A) Объединяем корни: \[ \frac{\sqrt{25a^9}\cdot\sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5b^8}} = \sqrt{\frac{25a^9\cdot16b^8}{a^5b^8}} = \sqrt{400a^4}=20a^2. \] При \(a=4\): \[ 20\cdot16=320. \]
B) Под корнем квадрат суммы: \[ a^2+8ab+16b^2=(a+4b)^2. \] Тогда \[ \sqrt{(a+4b)^2}=|a+4b|. \] При \(a=3\frac37=\frac{24}{7}\), \(b=\frac17\): \[ a+4b=\frac{24}{7}+\frac47=4, \] значит ответ \(4\).
C)
\[
\frac{\sqrt{49x^7}\cdot\sqrt{36y^6}}{\sqrt{x^3y^4}}
=
\sqrt{\frac{1764x^7y^6}{x^3y^4}}
=
\sqrt{1764x^4y^2}=42x^2|y|.
\]
При \(x=3\), \(y=2\):
\[
42\cdot3^2\cdot2=42\cdot9\cdot2=756.
\]
Проверка: ключевые вычисления выполнены обратными действиями, значения подставлены в исходные выражения.
