4. Решите на множестве ℝ уравнение: x(x−2)(2x+1)(2x−1)=0.

Краткий ответ: \[ x\in\left\{-\frac12;\ 0;\ \frac12;\ 2\right\}. \]

Ключевая идея. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому не нужно раскрывать скобки — приравниваем к нулю каждый множитель:

\[ x=0,\qquad x-2=0,\qquad 2x+1=0,\qquad 2x-1=0. \]

Отсюда:

\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=-\frac12,\qquad x=\frac12. \]

Проверка. Если подставить любое из этих чисел, один из множителей станет равен нулю, значит, и всё произведение равно нулю. Например, при \(x=\frac12\) последняя скобка \(2x-1=0\).

Почему других корней нет. После раскрытия скобок получился бы многочлен 4-й степени, а у него не может быть больше четырёх корней. Мы уже нашли четыре, значит, список полный.

Важно: нельзя делить обе части на \(x\) — так можно потерять корень \(x=0\). Приём с приравниванием множителей работает именно потому, что справа стоит нуль.