объясни 6.39-6.45 пункты в и г разбери каждый шаг решения простыми словами

Чтобы разобрать 6.40–6.44, пришлите их условия — лучше одно фото страницы целиком, чтобы были видны все пункты и номера. По названиям номеров без самого текста я не смогу точно восстановить задания и могу ошибиться.

Если имеется в виду

\[ \left(x+\frac{1}{3}\right)^{-1}, \]

то отрицательная степень «переворачивает» выражение:

\[ \left(x+\frac{1}{3}\right)^{-1} =\frac{1}{x+\frac{1}{3}} =\frac{1}{\frac{3x+1}{3}} =\frac{3}{3x+1}, \]

причём \(x\neq -\frac{1}{3}\).

Ответ: \(\displaystyle \frac{3}{3x+1}\).

Если же вы имели в виду \(\left(\frac{x+1}{3}\right)^{-1}\), то получится \(\displaystyle \frac{3}{x+1}\), где \(x\neq -1\).

По фото видно: в 6.40–6.41 нужно упростить выражения (пункты а, б), а в 6.42–6.44 — доказать тождества. Решаю по порядку.

Краткие ответы

• 6.40 а) \(\dfrac{1}{x-1}\);
• 6.40 б) \(\dfrac{1}{x+5}\);
• 6.41 а) \(a-2\);
• 6.41 б) \(-\dfrac{1}{x-1}\);
• 6.42–6.44 — тождества доказаны ниже.

Главный приём во всех номерах: отрицательная степень — это дробь: \[ t^{-1}=\frac{1}{t}. \]

---

6.40. Упростить

а)

\[ \left(\frac{x+4}{3x+3}-(x+1)^{-1}\right)\cdot \left(\frac{x+1}{3}\right)^{-1}+\frac{2}{x^2-1}. \]

1. Перепишем отрицательные степени: \[ (x+1)^{-1}=\frac1{x+1},\qquad \left(\frac{x+1}{3}\right)^{-1}=\frac3{x+1}. \] Также \(3x+3=3(x+1)\).

2. Считаем первую скобку: \[ \frac{x+4}{3(x+1)}-\frac1{x+1} =\frac{x+4-3}{3(x+1)} =\frac{x+1}{3(x+1)} =\frac13. \]

3. Умножаем: \[ \frac13\cdot\frac3{x+1}=\frac1{x+1}. \]

4. Прибавляем последнюю дробь: \[ \frac1{x+1}+\frac2{x^2-1} =\frac1{x+1}+\frac2{(x-1)(x+1)} =\frac{x-1+2}{(x-1)(x+1)} =\frac1{x-1}. \]

Ответ: \(\dfrac{1}{x-1}\).

---

б)

\[ \left(\frac{x+10}{5x+25}-(x+5)^{-1}\right)\cdot \left(\frac{x-5}{5}\right)^{-1}-\frac{10}{x^2-25}. \]

1. Запишем: \[ 5x+25=5(x+5),\quad (x+5)^{-1}=\frac1{x+5}, \] \[ \left(\frac{x-5}{5}\right)^{-1}=\frac5{x-5}. \]

2. Первая скобка: \[ \frac{x+10}{5(x+5)}-\frac1{x+5} =\frac{x+10-5}{5(x+5)} =\frac{x+5}{5(x+5)} =\frac15. \]

3. Умножаем: \[ \frac15\cdot\frac5{x-5}=\frac1{x-5}. \]

4. Вычитаем: \[ \frac1{x-5}-\frac{10}{x^2-25} =\frac1{x-5}-\frac{10}{(x-5)(x+5)} =\frac{x+5-10}{(x-5)(x+5)} =\frac1{x+5}. \]

Ответ: \(\dfrac{1}{x+5}\).

---

6.41. Упростить

а)

\[ \frac{2-a-5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1}-1}. \]

1. Перепишем: \[ (a+2)^{-1}=\frac1{a+2},\qquad (4-a^2)^{-1}=\frac1{4-a^2}. \]

2. Числитель: \[ 2-a-\frac5{a+2} =\frac{(2-a)(a+2)-5}{a+2}. \] Но \[ (2-a)(a+2)=4-a^2, \] поэтому \[ \frac{4-a^2-5}{a+2} =\frac{-a^2-1}{a+2} =-\frac{a^2+1}{a+2}. \]

3. Знаменатель: \[ \frac5{4-a^2}-1 =\frac{5-(4-a^2)}{4-a^2} =\frac{a^2+1}{4-a^2}. \]

4. Делим числитель на знаменатель: \[ \frac{-\frac{a^2+1}{a+2}}{\frac{a^2+1}{4-a^2}} =-\frac{a^2+1}{a+2}\cdot\frac{4-a^2}{a^2+1} =-\frac{4-a^2}{a+2}. \] Так как \(4-a^2=(2-a)(2+a)\), получаем: \[ -\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}=-(2-a)=a-2. \]

Ответ: \(a-2\).

---

б)

\[ \frac{(x^2-1)^{-1}-3}{3(x-1)-(x+1)^{-1}}. \]

1. Перепишем: \[ (x^2-1)^{-1}=\frac1{x^2-1},\qquad (x+1)^{-1}=\frac1{x+1}. \]

2. Числитель: \[ \frac1{x^2-1}-3 =\frac{1-3(x^2-1)}{x^2-1} =\frac{1-3x^2+3}{x^2-1} =\frac{4-3x^2}{x^2-1}. \]

3. Знаменатель: \[ 3(x-1)-\frac1{x+1} =\frac{3(x-1)(x+1)-1}{x+1} =\frac{3(x^2-1)-1}{x+1} =\frac{3x^2-4}{x+1}. \]

4. Делим: \[ \frac{\frac{4-3x^2}{x^2-1}}{\frac{3x^2-4}{x+1}} =\frac{4-3x^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{3x^2-4}. \] Так как \(4-3x^2=-(3x^2-4)\), после сокращения: \[ =-\frac1{x-1}. \]

Ответ: \(-\dfrac{1}{x-1}\).

---

6.42. Доказать тождество

\[ \left(\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}\cdot \frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}\right): \frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1} =\frac{x-y}{x+y}. \]

Преобразуем левую часть по частям.

Первый множитель: \[ \frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2} = \frac{y^2\left(\frac{x-y}{y}\right)^2} {x\left(1+\frac{y}{x}\right)^2} = \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2}. \]

Второй множитель: \[ \frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)} = \frac{y^2\left(\frac1{x^2}+\frac1{y^2}\right)} {x\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)} = \frac{y}{x^2}. \]

Их произведение: \[ \frac{x(x-y)^2}{(x+y)^2}\cdot\frac{y}{x^2} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}. \]

Делитель: \[ \frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1} = \frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1} = \frac{y(x-y)}{x(x+y)}. \]

Теперь деление: \[ \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}:\frac{y(x-y)}{x(x+y)} = \frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}\cdot\frac{x(x+y)}{y(x-y)} = \frac{x-y}{x+y}. \]

Получили правую часть. Тождество доказано.

---

6.43. Доказать тождество

\[ \left( \frac{a^{-n}+b^{-n}}{a^{-n}-b^{-n}} - \frac{a^{-n}-b^{-n}}{a^{-n}+b^{-n}} \right)^{-1} = \frac{a^{-n}b^n-b^{-n}a^n}{4}. \]

Обозначим \[ A=a^{-n},\qquad B=b^{-n}. \]

Тогда внутренняя разность: \[ \frac{A+B}{A-B}-\frac{A-B}{A+B} = \frac{(A+B)^2-(A-B)^2}{A^2-B^2} = \frac{4AB}{A^2-B^2}. \]

Обратная величина: \[ \left(\frac{4AB}{A^2-B^2}\right)^{-1} = \frac{A^2-B^2}{4AB} = \frac14\left(\frac{A}{B}-\frac{B}{A}\right). \]

Возвращаемся к \(A=a^{-n}\), \(B=b^{-n}\): \[ \frac14\left( \frac{a^{-n}}{b^{-n}}-\frac{b^{-n}}{a^{-n}} \right) = \frac14\left(a^{-n}b^n-b^{-n}a^n\right). \]

Получили правую часть. Тождество доказано.

---

6.44. Доказать тождество

\[ \left( \frac{a^{-n}-b^{-n}} {a^{-2n}-a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}} \right)^{-1} + \left( \frac{a^{-n}+b^{-n}} {a^{-2n}+a^{-n}b^{-n}+b^{-2n}} \right)^{-1} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n}-a^{2n}}. \]

Снова обозначим \[ A=a^{-n},\qquad B=b^{-n}. \] Тогда \(a^{-2n}=A^2\), \(b^{-2n}=B^2\), \(a^{-n}b^{-n}=AB\).

Левая часть принимает вид: \[ \left(\frac{A-B}{A^2-AB+B^2}\right)^{-1} + \left(\frac{A+B}{A^2+AB+B^2}\right)^{-1} = \frac{A^2-AB+B^2}{A-B} + \frac{A^2+AB+B^2}{A+B}. \]

Приведём к общему знаменателю \(A^2-B^2\): \[ \frac{(A^2-AB+B^2)(A+B)+(A^2+AB+B^2)(A-B)}{A^2-B^2}. \]

Раскрываем числитель: \[ (A^2-AB+B^2)(A+B)=A^3+B^3, \] \[ (A^2+AB+B^2)(A-B)=A^3-B^3. \] Их сумма: \[ 2A^3. \]

Значит, вся левая часть равна: \[ \frac{2A^3}{A^2-B^2}. \]

Теперь подставим \(A=a^{-n}\), \(B=b^{-n}\): \[ A^2-B^2=a^{-2n}-b^{-2n} = \frac{1}{a^{2n}}-\frac{1}{b^{2n}} = \frac{b^{2n}-a^{2n}}{a^{2n}b^{2n}}. \] Тогда \[ \frac{2a^{-3n}}{\frac{b^{2n}-a^{2n}}{a^{2n}b^{2n}}} = \frac{2a^{-3n}\cdot a^{2n}b^{2n}}{b^{2n}-a^{2n}} = \frac{2a^{-n}b^{2n}}{b^{2n}-a^{2n}}. \]

Это в точности правая часть. Тождество доказано.

---

Ограничения, которые подразумеваются:
в 6.40 а) \(x\neq\pm1\), б) \(x\neq\pm5\);
в 6.41 а) \(a\neq\pm2\), б) \(x\neq\pm1,\ x\neq\pm\frac{2}{\sqrt3}\);
в тождествах — только те значения переменных, при которых знаменатели не обращаются в ноль.

В 6.41 а) числитель — это

\[ 2-a-5(a+2)^{-1}. \]

Сначала переписываем отрицательную степень как дробь:

\[ 2-a-5(a+2)^{-1}=2-a-\frac{5}{a+2}. \]

Теперь приводим к общему знаменателю \(a+2\). Для этого \(2-a\) домножаем на \(a+2\):

\[ 2-a-\frac{5}{a+2} = \frac{(2-a)(a+2)-5}{a+2}. \]

Раскрываем скобки:

\[ (2-a)(a+2)=2a+4-a^2-2a=4-a^2. \]

Подставляем:

\[ \frac{4-a^2-5}{a+2} = \frac{-a^2-1}{a+2}. \]

Остаётся вынести минус:

\[ \frac{-a^2-1}{a+2} = -\frac{a^2+1}{a+2}. \]

То есть в числителе получилось \(-(a^2+1)\), или \(-a^2-1\). Главное: \(4-a^2-5=-a^2-1\), а не \(a^2+1\) — минус потом просто вынесли перед дробью.

В 6.41 а) знаменатель исходной дроби такой:

\[ 5(4-a^2)^{-1}-1. \]

Шаг 1. Убираем отрицательную степень

Так как

\[ (4-a^2)^{-1}=\frac{1}{4-a^2}, \]

получаем:

\[ 5(4-a^2)^{-1}-1 = \frac{5}{4-a^2}-1. \]

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю

Единицу записываем как дробь со знаменателем \(4-a^2\):

\[ 1=\frac{4-a^2}{4-a^2}. \]

Тогда

\[ \frac{5}{4-a^2}-1 = \frac{5}{4-a^2}-\frac{4-a^2}{4-a^2}. \]

Шаг 3. Вычитаем числители

\[ \frac{5-(4-a^2)}{4-a^2} = \frac{5-4+a^2}{4-a^2} = \frac{a^2+1}{4-a^2}. \]

Значит, знаменатель большой дроби равен

\[ \frac{a^2+1}{4-a^2}. \]

После этого всё выражение имеет вид

\[ \frac{-\frac{a^2+1}{a+2}}{\frac{a^2+1}{4-a^2}}. \]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:

\[ -\frac{a^2+1}{a+2}\cdot\frac{4-a^2}{a^2+1}. \]

Выражение \(a^2+1\) сокращается:

\[ -\frac{4-a^2}{a+2}. \]

А так как

\[ 4-a^2=(2-a)(2+a), \]

то

\[ -\frac{(2-a)(2+a)}{a+2} = -(2-a) = a-2. \]

То есть в знаменателе сначала получилось \(\dfrac{a^2+1}{4-a^2}\), а потом при делении эта дробь «перевернулась» и дала окончательный ответ \(a-2\). Обязательное условие: \(a\neq \pm 2\).

Во втором множителе в 6.42 было так:

\[ \frac{y^2\left(x^{-2}+y^{-2}\right)}{x\left(xy^{-1}+x^{-1}y\right)}. \]

Разберём числитель и знаменатель отдельно.

1. Числитель

Отрицательные степени превращаем в дроби:

\[ x^{-2}+y^{-2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}. \]

Приводим к общему знаменателю \(x^2y^2\):

\[ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} = \frac{y^2+x^2}{x^2y^2}. \]

Умножаем на \(y^2\):

\[ y^2\cdot\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2+y^2}{x^2}. \]

То есть числитель всей дроби равен \(\dfrac{x^2+y^2}{x^2}\).

2. Знаменатель

Сначала:

\[ xy^{-1}=\frac{x}{y},\qquad x^{-1}y=\frac{y}{x}. \]

Поэтому

\[ xy^{-1}+x^{-1}y = \frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy}. \]

Теперь умножаем на \(x\):

\[ x\cdot\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{x^2+y^2}{y}. \]

3. Делим числитель на знаменатель

\[ \frac{\dfrac{x^2+y^2}{x^2}}{\dfrac{x^2+y^2}{y}} = \frac{x^2+y^2}{x^2}\cdot\frac{y}{x^2+y^2} = \frac{y}{x^2}. \]

Сумма \(x^2+y^2\) сократилась.

Итог: второй множитель равен

\[ \frac{y}{x^2}. \]

При этом \(x\neq 0\) и \(y\neq 0\), потому что в выражении есть \(x^{-2}\), \(y^{-2}\), \(xy^{-1}\) и \(x^{-1}y\).

Да, но с важной оговоркой:

\[ x^0=1 \quad \text{при } x\neq 0. \]

Это значит, что любое ненулевое число в нулевой степени равно \(1\):

\[ 5^0=1,\qquad (-7)^0=1,\qquad \left(\frac{1}{3}\right)^0=1. \]

А вот

\[ 0^0 \]

в школе не имеет смысла — считается неопределённым. Поэтому если в выражении встречается \(x^0\), то автоматически нужно требовать \(x\neq 0\). Если вместо \(x\) стоит выражение, например \((a-b)^0\), то нужно \(a-b\neq 0\). Именно поэтому в 6.45(г) появилось условие \(x\neq 0\).